Accettereste di giocare a questo gioco ?

[PGiulia]

Conviene giocare una sola volta. Meglio ancora portare 10 mila persone a giocare una volta ogni giorno cosi' poi il banco chiude .

P.S. Ripeto: se vinci la prima, perché non due?

 

[piof]

Ci conviene accettare di giocare?

Se si, per quanti colpi ?

Ho letto solo le prime 6 pagine delle vostre risposte, magari scrivo cose già dette.


Direi che dipende da cosa intendi col termine "conviene".

Facendo una giocata, è scontato rispondere.

Ma facciamo crescere il numero di giocate: fissato il numero di giocate, (ad esempio scommetto 3 volte), succede che la probabilità di chiudere in perdita dopo le 3 (o n) giocate è maggiore o uguale alla probabilità di chiudere in attivo.

Quindi in sostanza se si fanno più giocate, è più probabile avere una perdita piuttosto che un guadagno (o le 2 p sono uguali).


Quindi il giocatore "conservatore e prudente", probabilmente non giocherà.

Tuttavia il gioco può divenire "sconveniente" per il giocatore? No, essendo la ripetizione di singole giocate tutte favorevoli al giocatore, anche se dovremmo chiarire cosa intendiamo con "sconveniente".

In particolare, fissato il numero di giocate, il guadagno moltiplicato per la probabilità di ottenere quel guadagno risulta superiore alla perdita moltiplicata per la probabilità di subire quella perdita. In questo senso il gioco pare conveniente

Però, dato che appunto fissato il numero n di giocate resta più probabile avere una perdita piuttosto che un guadagno, (oppure le 2 probabilità sono uguali, per certi n), allora si potrà ritenere opportuno non giocare.

Poi mi leggo le altre vostre pagine

 

[piof]

The longer you stay in the casino, the more likely you are to lose.

non è un poco differente? al casinò vi sono proprio giochi favorevoli al banco... Qui il banco fallisce

 

[piof]

Dovete stare attenti a alcuni particolari:

- Il giocatore può ritirarsi quando vuole. Non è un teorema, perché ci possono essere controesempi, ma quando in un gioco di Bernoulli un giocatore può ritirarsi a piacimento, acquisisce automaticamente un vantaggio.

- Ho l'impressione che alcuni di voi fraintendano il fatto che in una serie di lanci di una moneta la somma dei risultati abbia media nulla. La questione è spiegata benissimo nel cap. III del Feller e non è questo il posto per ripeterla. Basta dire che va intesa nel modo seguente:

Esperimento: lanciamo N volte una moneta perfetta e consideriamo la differenza fra il numero di Head e il numero di Tail: sia S.

S è una variabile casuale distribuita binomialmente e in generale non tende a zero qualunque sia N. Anzi al crescere di N tende a raggiungere valori assolutamente grandi, limitati dalla legge del log. iterato.

Law of the iterated logarithm - Wikipedia

Se ripetiamo l'esperimento M volte, la probabilità di ottenere S = k è uguale alla probabilità di ottenere S = -k e quindi S ha media zero

Per visualizzazione consideriamo la molecole di un gas in un recipiente: la media delle velocità dipende dalla temperatura, ma questo non significa che col tempo tutte le molecole avranno la stessa velocità, anzi, è vero esattamente il contrario.

quindi, possiamo dire che:

se si è liberi di continuare a giocare finchè lo si vuole, la p di uscirne prima o poi in guadagno è > 0,5? Anzi tende a 1?
***
e possiamo dire che però, fissato il numero di giocate, la p di uscire in perdita (ovvero la p di essere in perdita giunti a quel n di giocate) cresce al crescere del numero di giocate?

Giusto?

 

[Blacksmith.]

non è un poco differente? al casinò vi sono proprio giochi favorevoli al banco...

Qui il favore per il banco è stato intenzionalmente ridotto al lumicino, in modo da non renderlo visibile.

E' divertente osservare come il gioco sia stato sbilanciato in modo semplice: partendo dal payoff equo 12/10 e 10/12 (cioè 1,2 e 0,8333333) sono state troncate le cifre decimali per far perdere quel tanto in più senza dare nell'occhio.

Qui il banco fallisce

Il banco fallisce se ci sono infiniti giocatori. Ma in questo gioco non ci sono infiniti giocatori.

Il gioco è stato pensato per mettere in risalto la psicologia del giocatore.
Quando fermarsi, se dopo ogni giocata si può vincere il 20% e perdere solo 17%?

Un singolo giocatore potrà vincere "poco" con buona probabilità, ma la ricerca spasmodica di vincite elevate lo porterà con maggior probabilità a perdere.

 

[piof]

Qui il favore per il banco è stato intenzionalmente ridotto al lumicino, in modo da non renderlo visibile.

con una giocata il gioco è sfavorevole al banco. Suppongo quindi che secondo te esiste un numero n* di giocate tale che il gioco divenga favorevole al banco se il numero n di giocate è maggiore di n*

 

[piof]

Sai cosa, visto che tanto è sabato pomeriggio e non si lavora e non c'ho una vita ora scriviamo per bene la matematica di 'sta robaccia.

Dunque:

g --> variabile aleatoria del guadagno nella singola mano ennesima. Assume valori 1.2 e 0.83 entrambi con probabilità 0.5.

E(g) = (1.2 + 0.83)/2 = 1.015


G --> variabile aleatoria del guadagno complessivo dopo n mani.

Calcoliamo il valore atteso di G:

E(G) = E(g(1)g(2)...g) (per definizione di G)
.............= E(g(1))E(g(2))...E(g) (perché le g sono stocasticamente indipendenti)
.............= 1.015^n

Non c'è bisogno di dire che in quanto esponenziale con base > 1 cresce sempre e diverge a infinito.

Veniamo alla probabilità di vittoria che è più complicata:

possiamo esprimere la probabilità di essere in attivo dopo n mani (chiamando k il numero di vittorie) come:

P(G > 1) = P(1.2^k * 0.83^(n-k) > 1)
....................= P(e^(k*log(1.2)) * e^(n-k)log(0.83) > e^log(1)) (proprietà di esponenziali e logaritmi)
....................= P(k*log(1.2) + (n-k)*log(0.83) > 0) (proprietà di esponenziali e logaritmi)
....................= P(k > n*log(0.83)/(log(0.83 - log(1.2))) (algebretta)
....................= somme_da [ceiling(n*log(0.83)/(log(0.83) - log(1.2))] _a_ [n] di binomiale(n,k) * 1/2^n (proprietà della distribuzione binomiale)

Quest'ultima roba ha un esponenziale con base > 1 al denominatore e una somma di fattoriali al numeratore quindi se ne va allegramente a zero.

Comunque nel dubbio, infilando quella formula nel pc il risultato è questo:

Vedi l'allegato 2661494

Quindi, di nuovo, valore atteso scoppia, probabilità di vittoria va a zero.
Quindi converrà giocare fino a un certo punto. Ai posteri stabilire dove sia 'sto punto.

però per decidere se giocare o no, se puoi giocare infinite volte (supponiamo sia così) perché ti interessa la p di essere in attivo dopo un preciso numero n di giocate? Questa tende a zero al crescere di n. Ma se puoi giocare "finchè basta" ovvero sino a quando tu non sia in attivo, o meglio puoi giocare finchè lo desideri, potrebbe interessarti sapere qual è la p che "prima o poi" tu sia in attivo.

In questo gioco qual è la p che, iniziando a giocare e potendo giocare infinite volte, non vi sia in nessun momento più di 100 sul piatto? E' indubbiamente minore di 0,5. A occhio direi che tende a zero, ma andrebbe verificato.

Naturalmente si discute di scelte in parte personali, ognuno può decidere se giocare o no conoscendo la natura del gioco, non si può arrivare ad una risposta univoca sul "conviene giocare?"

 

[piof]

Valor atteso positivo e crescente al crescere del numero di giocate; possibilità di infinite giocate; io ci giocherei, imposterei una cifra da raggiungere (ad esempio 1 milione) e lascerei correre le giocate sino a raggiungerla. Ma quante giocate al secondo possiamo fare?

Avendo valor atteso positivo e crescente col n di giocate, allora direi che fissata qualsiasi cifra, la p che venga prima o poi raggiunta tende a 1. Ci interessa solo che ciò avvenga in tempi ragionevoli.

 

[Blacksmith.]

Avendo valor atteso positivo e crescente col n di giocate, allora direi che fissata qualsiasi cifra, la p che venga prima o poi raggiunta tende a 1.

Questo gioco è stato pensato intenzionalmente per ingannare.

Si può vedere come in questo gioco si verifichino questi range massimi:
Il 23% di probabilità di vincere 10 volte la posta tra 800 e 1500 lanci;
Il 15% di probabilità di vincere 100 volte la posta tra 1500 e 2500 lanci;
Il 10% di probabilità di vincere 1000 volte la posta tra 2500 e 4500 lanci;
Il 7% di probabilità di vincere 10mila volte la posta tra 3500 e 5500 lanci;
Il 5% di probabilità di vincere 100mila volte la posta tra 5000 e 7500 lanci;
Il 3.5% di probabilità di vincere 1milione di volte la posta tra 5500 e 8500 lanci;
Il 2.5% di probabilità di vincere 10milioni di volte la posta tra 6500 e 10000 lanci;
Il 1.8% di probabilità di vincere 100milioni di volte la posta tra 7500 e 12000 lanci;
Il 1.3% di probabilità di vincere 1miliardo di volte la posta tra 8000 e 13000 lanci;
L' 1% di probabilità di vincere 10miliardi di volte la posta tra 10000 e 14000 lanci;
....

 

[piof]

Scusate ragazzi,
sin dall'inizio abbiamo notato che alla lunga perdi

ecco, questo non mi è chiaro, tranne se intendi solamente dire che: la p di esser in guadagno alla giocata n tende a zero al crescere di n. Questo è chiaro

Come già detto prima, Pedro dice il giusto: all'infinito si perde tutti, ma all'infinito siamo tutti morti.

io direi: "alla lunga vinci, e vinci qualsiasi cifra fissata"...se qualcuno si offre come banco, sono disponibile per giocare, meglio però sapere quante giocate al secondo posso fare

Se si può giocare all'infinito, si avranno tutte le sequenze possibili di risultati, si avranno anche 100000000000000000 giocate vincenti consecutive, prima o poi, la questione si riduce al tempo.

 

[piof]

Il banco fallisce se ci sono infiniti giocatori. Ma in questo gioco non ci sono infiniti giocatori.

non sono convinto di quanto ho scritto, però per dire che "il banco vince sul lungo periodo" non mi pare sufficiente dire che per un giocatore la p di esser vincente ad un fissato n (con n numero di giocate) tende a zero al crescere di n; dato che il guadagno atteso tende a infinito al crescere di n

però dovrei provare a impostare dei calcoli, cosa che non ho ancora fatto

 

[Blacksmith.]

io direi: "alla lunga vinci, e vinci qualsiasi cifra fissata"...se qualcuno si offre come banco, sono disponibile per giocare, meglio però sapere quante giocate al secondo posso fare

Se si può giocare all'infinito, si avranno tutte le sequenze possibili di risultati, si avranno anche 100000000000000000 giocate vincenti consecutive, prima o poi, la questione si riduce al tempo.

Il gioco è stato pensato espressamente per indurre questa illusione negli scommettitori abituali.

 

[piof]

Il gioco è stato pensato espressamente per indurre questa illusione negli scommettitori abituali.

sì, ma ho scritto quella frase poichè il valor atteso cresce ad ogni giocata e tende a infinito e non azzeri mai i soldi sul piatto e puoi giocare illimitatamente; altrimenti è del tutto ovvio che è una idiozia quella mia frase. In generale non trovi disponibili giochi sfavorevoli per il banco. Dovrei far un po' di calcoli e aprire i link del 3d; a ragionamento non si conclude nulla, perlomeno io non concludo nulla

 

[piof]

Il gioco è stato pensato espressamente per indurre questa illusione negli scommettitori abituali.

calma, prova a seguirmi

La probabilità di avere sul piatto più di 100 alla giocata n, tende a zero, al crescere di n. Perfetto, siamo d'accordo.

Però il guadagno atteso è crescente con n e tende a più infinito.

Quindi se il guadagno atteso cresce al crescere di n e tende a più infinito; allora avremo che: non è possibile che per ogni n maggiore di un certo n, sul piatto vi sia sempre meno di 100. Anzi, diciamo meno di 90. Perchè altrimenti, da quell'n in poi saresti definitivamente in perdita, avresti infiniti "esiti" in perdita mentre avresti degli esiti in guadagno finiti, con guadagno finito. E quindi con infiniti esiti in perdita ed una quantità finita di esiti in guadagno con guadagno finito, non potresti avere in alcun modo un guadagno atteso positivo indipendentemente da n.

Si è capito il ragionamento? Se per n>10000 avessimo sempre meno di 90 sul piatto, allora è chiaro che facendo crescere n oltre 10000, il guadagno atteso calcolato al variare di n sarebbe decrescente, non crescente con n

Quindi, per quanto sia scelto grande n, avremo dopo quell'n, ancora sul piatto più di 100 (ma contentiamoci di avere più di 90); infinite volte. Preso n*=10000^100000 succederà che capiterà ancora di avere più di 90 sul piatto, continuando con le giocate. E dato che questo vale anche con n* tendente a infinito, allora possiamo dire che: scelto qualsiasi n* avremo poi ancora più di 90 sul piatto, infinite volte.

Intendo dire, vai avanti a scommettere e prima o poi, anche dopo 100000^100000 giocate, ti capiterà (ma sempre più raramente) di avere sul piatto più di 90 (in realtà più di 100, ma contentiamoci di 90).

E questo mi pare in accordo con alcune simulazioni che avete fatto (anche se non ho letto tutto bene)

Fin qui concordi? Se qualcuno nota errori, leggerò volentieri

 

[Blacksmith.]

calma, prova a seguirmi
La probabilità di avere sul piatto più di 100 alla giocata n, tende a zero, al crescere di n. Perfetto, siamo d'accordo.
Però il guadagno atteso è crescente con n e tende a più infinito.
Quindi se il guadagno atteso cresce al crescere di n e tende a più infinito; allora avremo che: non è possibile che per ogni n maggiore di un certo n, sul piatto vi sia sempre meno di 100.

Ma è estremamente probabile.

Intendo dire, vai avanti a scommettere e prima o poi, anche dopo 100000^100000 giocate, ti capiterà (ma sempre più raramente) di avere sul piatto più di 90 (in realtà più di 100, ma contentiamoci di 90).

La probabilità di avere sul piatto più di 90 scende sotto il 35% dopo 1300 lanci.
La probabilità di avere sul piatto più di 90 scende sotto il 10% dopo 14000 lanci.
La probabilità di avere sul piatto più di 90 scende sotto il 1% dopo 45000 lanci.
La probabilità di avere sul piatto più di 90 scende sotto 1/milione dopo 165000 lanci.

Fin qui concordi? Se qualcuno nota errori, leggerò volentieri

Rileggiti il thread. C'è stato un appassionato dibattito fra i vari schieramenti.
Grazie al contributo di tutti è venuta fuori una formula chiusa per il gioco.

L'errore dello schieramento del "valore atteso" era di non considerare che fra valore atteso e rendimento atteso c'è di mezzo la varianza, che qui è molto alta.

 

[piof]

ho letto molti messaggi, ma in effetti sono fuori tempo massimo, però

Bisogna aggiungere che la probabilità di ottenere quel valore atteso (o un risultato migliore) decresce velocemente.

Così come decresce (già dopo pochi lanci) il prodotto fra quel valore atteso e la probabilità di ottenerlo (o un risultato migliore).

Il che significa che dopo pochi lanci il gioco diventa una lotteria, con probabilità decrescenti di conseguire quel valore atteso (o superiori) dopo n lanci.




Questo lo avevo già evidenziato io. Per un numero pari di lanci il risultato più probabile è di pari vittorie e sconfitte. Per un numero dispari di lanci il risultato più probabile ha inizialmente un payoff più alto. Ma solo fino a 10 lanci. Poi, in un numero dispari di lanci, con una singola vittoria in più inizi a vincere meno di quanto perderesti con una singola sconfitta in più.

la p di avere almeno 120 sul piatto è già 0,5, con una sola giocata possibile.

Se poi il gioco ti concede di non fermarti alla prima giocata, ma di farne 5, allora, iniziando a giocare so che la p di avere in qualche momento del gioco almeno 120 sul piatto è certamente > di 0,5. E' già 0,5 se il gioco concede una giocata, se me ne concede altre 4, la p che in qualche momento tra la prima e l'ultima giocata vi sia almeno 120, cresce

Se poi il gioco mi concede 10 giocate, allora la p di aver sul piatto almeno 120 è ancor maggiore. Ho tutti i casi favorevoli che avevo con 5 giocate possibili, più altri. La p di aver raggiunto almeno 120 (o altre cifre) durante il susseguirsi delle giocate, cresce al crescere del numero di giocate che si possono fare. Su questo non vi è alcun dubbio.

Vuoi avere almeno 358 sul piatto? La p di avere almeno 358 in qualche momento del gioco è 1/2^7...se il gioco ti concede al massimo 7 giocate, devi vincere sempre. Ma se il gioco te ne concede altre, ad esempio 20, certamente hai maggiori probabilità raggiungere quella cifra, durante le giocate.

Quindi la p di raggiungere una certa cifra giocando, cresce al crescere del n di giocate che si possono fare...e qui le giocate fattibili sono infinite

Detto questo, la p di avere 358 (o più di 358) alla giocata n, decresce al crescere di n (perlomeno è decrescente oltre un certo n; ovvio che ad esempio con 2 giocate la p di avere 358 è zero)

Ma perchè concentrarsi su questo aspetto, mi pare che il gioco consenta di ritirarsi quando lo si desidera? A me basta avere 120, o 358, in qualche momento e non necessariamente alla giocata n.

*************

E perchè nei miei messaggi precedenti avevo scritto quanto ho scritto?

Perchè se il fatto di avere guadagno atteso crescente e tendente a infinito implica che, fissato qualsiasi numero di giocate n (per il quale è possibile calcolare il guadagno atteso), avrai prima o poi sul piatto più di 100 (anzi, contentiamoci di dimostrare che avrai prima o poi più di 90). Se dimostri che con guadagno atteso crescente e tendente a infinito, allora non è possibile che oltre un certo n vi sia definitivamente meno di 100 sul piatto. Non può esistere un n tale che oltre quell'n hai definitivamente meno di 100 sul piatto, il guadagno atteso non potrebbe tendere a infinito ed esser crescente.

Quindi se dimostri che scelto qualsiasi numero n di giocate, capiterà poi ancora in giocate successive di avere almeno 100 sul piatto, allora direi che diviene immediato mostrare che raggiungerai qualsiasi vincita.

Perchè?

perchè iniziando a giocare la p di avere almeno i milione entro le prime 51 giocate è bassissima, è necessario vincerle tutte. Ma se tu in sostanza "rinizi" a giocare 10000000000000000000^10000000000000000000000000000000000 volte allora stai tranquillo che ti capiterà pure di azzeccare 51 vittorie di fila, partendo da 100 o più euro sul tavolo, e avrai così raggiunto il milione sul tavolo.
Se non bastano gli zeri, puoi aggiungerne finchè vuoi, se però hai prima dimostrato che avendo guadagno atteso crescente con n e tendente a infinito, allora scelto qualsiasi n, per quanto n sia grande, ti capiterà poi ancora di avere almeno 100 sul tavolo.

In sostanza, se ti ricapita infinite volte di avere almeno 100 sul tavolo, il gioco "riparte" infinite volte e prima o poi in una di quelle "ripartenze" avrai le 51 vittorie di fila ed un milione sul tavolo.

In realtà neppure ti interessa "ripartire" da 100 o più, puoi anche ripartire da 90, ad esempio, e quindi ti basta dimostrare che avendo guadagno atteso crescente con n e tendente a infinito, allora scelto qualsiasi n, per quanto n sia grande, ti capiterà poi ancora di avere ad esempio almeno 90 sul tavolo.

E naturalmente il milione è solo una cifra a caso, se tutto fila si dimostra che prima o poi raggiungi qualsiasi cifra

 

[amartya78]

Non voglio entrare o meglio sarebbe dire rientrare in questa discussione infernale.

Vorrei solo far notare a Piof che il valore atteso è positivo e costante viceversa la probabilità di vittoria è negativa e decrescente, rispetto a n.

 

[piof]

Black, considera il caso in cui vi sia 100 sul piatto, e fai questo stesso gioco, ma non con -17% e +20%; ma con -1% e +1%

Il guadagno atteso (e la perdita attesa) sono nulli. Però considera 1000 giocate; immagina di aver scritto su un foglio tutte le possibili sequenze (equiprobabili) che hai con 1000 giocate, ciascuna con il suo guadagno. E' evidente che avrai la sequenza con 1000 vittorie di fila (probabile quanto le altre) che comporta un notevolissimo guadagno. Mentre le sequenze in perdita, al massimo causano una perdita di 100. E quindi, dato che le sequenze in guadagno comportano un guadagno mediamente notevolissimo, dovranno per forza esser molto più numerose le sequenze in perdita, per compensare e lasciar nullo il guadagno atteso.

E tieni presente che tutto ciò non è in contrasto con la tua idea secondo la quale chi fa quel gioco +1 -1 poi in generale perde perchè cosa accade facendolo?

Accade che la p di esser anche solo in pareggio alla giocata n, tende a zero, al crescere di n. Perchè i momenti in cui si è in utile son sempre più rarefatti. Ora proviamo a dire che ogni giorno facciamo una giocata. Cosa accade continuando a giocare? La cosa più probabile è che mi capiti prima o poi, magari tra un paio di decenni, di aver bisogno dei soldi, oppure morirò all'improvviso ed è probabilissimo che esca in perdita. O mi stuferò di giocare, dopo lunghi periodi in perdita.
Ma direi che anche in questo gioco non puoi affermare che tende a zero la somma che c'è sul tavolo.

Quindi in pratica anche un gioco a valor atteso nullo o persino favorevole al giocatore, può concentrare le vincite in eventi sempre più rari; rendendo di fatto sconveniente pensare di fare quel gioco per ottenere guadagni oltre certi valori, per via della limitatezza della nostra vita.

Cosa notevole è che puoi anche inventare giochi/metodi di investimento (perlomeno in teoria) opposti, ovvero che hanno guadagno atteso negativo, ma che rimandano sempre più il manifestarsi della perdita

 

[piof]

Non voglio entrare o meglio sarebbe dire rientrare in questa discussione infernale.

Vorrei solo far notare a Piof che il valore atteso è positivo e costante viceversa la probabilità di vittoria è negativa e decrescente, rispetto a n.

e quanto vale il valor atteso, costante

e la p di vittoria negativa? p=-2?

 

[Blacksmith.]

ho letto molti messaggi, ma in effetti sono fuori tempo massimo
.....
Ma perchè concentrarsi su questo aspetto, mi pare che il gioco consenta di ritirarsi quando lo si desidera?

Il thread si è fermato quando è diventato chiaro che alle vera domanda del gioco "quando fermarsi" non c'è una risposta razionale.

Perchè se il fatto di avere guadagno atteso crescente e tendente a infinito implica che...

Il valore atteso tende a infinito, ma il rendimento atteso resta negativo.

Quindi se dimostri che scelto qualsiasi numero n di giocate, capiterà poi ancora in giocate successive di avere almeno 100 sul piatto, allora direi che diviene immediato mostrare che raggiungerai qualsiasi vincita.

Potrebbe capitare, ma diventa sempre più improbabile.

considera il caso in cui vi sia 100 sul piatto, e fai questo stesso gioco, ma non con -17% e +20%; ma con -1% e +1% Il guadagno atteso (e la perdita attesa) sono nulli.

Sei andato nel pallone...

Per avere guadagno atteso nullo devi avere -1% +1,01% ... è questo il "trucco".