PGiulia
Sveglia, polli!
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Ci conviene accettare di giocare?
Se si, per quanti colpi ?
The longer you stay in the casino, the more likely you are to lose.
Dovete stare attenti a alcuni particolari:
- Il giocatore può ritirarsi quando vuole. Non è un teorema, perché ci possono essere controesempi, ma quando in un gioco di Bernoulli un giocatore può ritirarsi a piacimento, acquisisce automaticamente un vantaggio.
- Ho l'impressione che alcuni di voi fraintendano il fatto che in una serie di lanci di una moneta la somma dei risultati abbia media nulla. La questione è spiegata benissimo nel cap. III del Feller e non è questo il posto per ripeterla. Basta dire che va intesa nel modo seguente:
Esperimento: lanciamo N volte una moneta perfetta e consideriamo la differenza fra il numero di Head e il numero di Tail: sia S.
S è una variabile casuale distribuita binomialmente e in generale non tende a zero qualunque sia N. Anzi al crescere di N tende a raggiungere valori assolutamente grandi, limitati dalla legge del log. iterato.
Law of the iterated logarithm - Wikipedia
Se ripetiamo l'esperimento M volte, la probabilità di ottenere S = k è uguale alla probabilità di ottenere S = -k e quindi S ha media zero
Per visualizzazione consideriamo la molecole di un gas in un recipiente: la media delle velocità dipende dalla temperatura, ma questo non significa che col tempo tutte le molecole avranno la stessa velocità, anzi, è vero esattamente il contrario.
non è un poco differente? al casinò vi sono proprio giochi favorevoli al banco...
E' divertente osservare come il gioco sia stato sbilanciato in modo semplice: partendo dal payoff equo 12/10 e 10/12 (cioè 1,2 e 0,8333333) sono state troncate le cifre decimali per far perdere quel tanto in più senza dare nell'occhio.
Qui il banco fallisce
Qui il favore per il banco è stato intenzionalmente ridotto al lumicino, in modo da non renderlo visibile.
Sai cosa, visto che tanto è sabato pomeriggio e non si lavora e non c'ho una vita ora scriviamo per bene la matematica di 'sta robaccia.
Dunque:
g --> variabile aleatoria del guadagno nella singola mano ennesima. Assume valori 1.2 e 0.83 entrambi con probabilità 0.5.
E(g) = (1.2 + 0.83)/2 = 1.015
G --> variabile aleatoria del guadagno complessivo dopo n mani.
Calcoliamo il valore atteso di G:
E(G) = E(g(1)g(2)...g) (per definizione di G)
.............= E(g(1))E(g(2))...E(g) (perché le g sono stocasticamente indipendenti)
.............= 1.015^n
Non c'è bisogno di dire che in quanto esponenziale con base > 1 cresce sempre e diverge a infinito.
Veniamo alla probabilità di vittoria che è più complicata:
possiamo esprimere la probabilità di essere in attivo dopo n mani (chiamando k il numero di vittorie) come:
P(G > 1) = P(1.2^k * 0.83^(n-k) > 1)
....................= P(e^(k*log(1.2)) * e^(n-k)log(0.83) > e^log(1)) (proprietà di esponenziali e logaritmi)
....................= P(k*log(1.2) + (n-k)*log(0.83) > 0) (proprietà di esponenziali e logaritmi)
....................= P(k > n*log(0.83)/(log(0.83 - log(1.2))) (algebretta)
....................= somme_da [ceiling(n*log(0.83)/(log(0.83) - log(1.2))] _a_ [n] di binomiale(n,k) * 1/2^n (proprietà della distribuzione binomiale)
Quest'ultima roba ha un esponenziale con base > 1 al denominatore e una somma di fattoriali al numeratore quindi se ne va allegramente a zero.
Comunque nel dubbio, infilando quella formula nel pc il risultato è questo:
Vedi l'allegato 2661494
Quindi, di nuovo, valore atteso scoppia, probabilità di vittoria va a zero.
Quindi converrà giocare fino a un certo punto. Ai posteri stabilire dove sia 'sto punto.
Avendo valor atteso positivo e crescente col n di giocate, allora direi che fissata qualsiasi cifra, la p che venga prima o poi raggiunta tende a 1.
Si può vedere come in questo gioco si verifichino questi range massimi:
Il 23% di probabilità di vincere 10 volte la posta tra 800 e 1500 lanci;
Il 15% di probabilità di vincere 100 volte la posta tra 1500 e 2500 lanci;
Il 10% di probabilità di vincere 1000 volte la posta tra 2500 e 4500 lanci;
Il 7% di probabilità di vincere 10mila volte la posta tra 3500 e 5500 lanci;
Il 5% di probabilità di vincere 100mila volte la posta tra 5000 e 7500 lanci;
Il 3.5% di probabilità di vincere 1milione di volte la posta tra 5500 e 8500 lanci;
Il 2.5% di probabilità di vincere 10milioni di volte la posta tra 6500 e 10000 lanci;
Il 1.8% di probabilità di vincere 100milioni di volte la posta tra 7500 e 12000 lanci;
Il 1.3% di probabilità di vincere 1miliardo di volte la posta tra 8000 e 13000 lanci;
L' 1% di probabilità di vincere 10miliardi di volte la posta tra 10000 e 14000 lanci;
....
Scusate ragazzi,
sin dall'inizio abbiamo notato che alla lunga perdi
Come già detto prima, Pedro dice il giusto: all'infinito si perde tutti, ma all'infinito siamo tutti morti.
Il banco fallisce se ci sono infiniti giocatori. Ma in questo gioco non ci sono infiniti giocatori.
io direi: "alla lunga vinci, e vinci qualsiasi cifra fissata"...se qualcuno si offre come banco, sono disponibile per giocare, meglio però sapere quante giocate al secondo posso fare
Se si può giocare all'infinito, si avranno tutte le sequenze possibili di risultati, si avranno anche 100000000000000000 giocate vincenti consecutive, prima o poi, la questione si riduce al tempo.
Il gioco è stato pensato espressamente per indurre questa illusione negli scommettitori abituali.
Il gioco è stato pensato espressamente per indurre questa illusione negli scommettitori abituali.
calma, prova a seguirmi
La probabilità di avere sul piatto più di 100 alla giocata n, tende a zero, al crescere di n. Perfetto, siamo d'accordo.
Però il guadagno atteso è crescente con n e tende a più infinito.
Quindi se il guadagno atteso cresce al crescere di n e tende a più infinito; allora avremo che: non è possibile che per ogni n maggiore di un certo n, sul piatto vi sia sempre meno di 100.
Intendo dire, vai avanti a scommettere e prima o poi, anche dopo 100000^100000 giocate, ti capiterà (ma sempre più raramente) di avere sul piatto più di 90 (in realtà più di 100, ma contentiamoci di 90).
Fin qui concordi? Se qualcuno nota errori, leggerò volentieri
Bisogna aggiungere che la probabilità di ottenere quel valore atteso (o un risultato migliore) decresce velocemente.
Così come decresce (già dopo pochi lanci) il prodotto fra quel valore atteso e la probabilità di ottenerlo (o un risultato migliore).
Il che significa che dopo pochi lanci il gioco diventa una lotteria, con probabilità decrescenti di conseguire quel valore atteso (o superiori) dopo n lanci.
Questo lo avevo già evidenziato io. Per un numero pari di lanci il risultato più probabile è di pari vittorie e sconfitte. Per un numero dispari di lanci il risultato più probabile ha inizialmente un payoff più alto. Ma solo fino a 10 lanci. Poi, in un numero dispari di lanci, con una singola vittoria in più inizi a vincere meno di quanto perderesti con una singola sconfitta in più.
Non voglio entrare o meglio sarebbe dire rientrare in questa discussione infernale.
Vorrei solo far notare a Piof che il valore atteso è positivo e costante viceversa la probabilità di vittoria è negativa e decrescente, rispetto a n.
ho letto molti messaggi, ma in effetti sono fuori tempo massimo
.....
Ma perchè concentrarsi su questo aspetto, mi pare che il gioco consenta di ritirarsi quando lo si desidera?
Perchè se il fatto di avere guadagno atteso crescente e tendente a infinito implica che...
Quindi se dimostri che scelto qualsiasi numero n di giocate, capiterà poi ancora in giocate successive di avere almeno 100 sul piatto, allora direi che diviene immediato mostrare che raggiungerai qualsiasi vincita.
considera il caso in cui vi sia 100 sul piatto, e fai questo stesso gioco, ma non con -17% e +20%; ma con -1% e +1% Il guadagno atteso (e la perdita attesa) sono nulli.