Analisi matematica

[torre1]

Per quanto riguarda le serie sono importanti (e sono anche caduto sull'argomento serie di funzioni all'orale di Analisi II), ma non arrivano all'importanza delle successioni.

Per quanto riguarda la trasformata devo essere sincero io sia in Analisi II che in Istituzioni l'ho solo vista era all'interno delle trasformate integrali. E' più studiata in ingegneria.

Beh non credo che fourier possa avere un posto paragonabile a Eulero, Lagrange, Cauchy.

I matematici moderni più importanti sono in ordine di importanza:
1) Gauss;
2)
3)
4)
5) Eulero;
il resto lo si sceglie in base alle preferenze, io metterei:
6) Cauchy;
7) Lagrange;
8) Riemann;
9) Cantor
10) Fermat

ma da 6 a 10 sono preferenze, i primi due sono generalmente quelli, il primo posto che sia di Gauss non è oggetto di discussione da parte di nessuno.

In particolare Gauss ha fatto cose che veramente spesso dubito che sia stato umano.

Per quanto riguarda i limiti, si quelli si sono la base dell'Analisi.

Quasi tutti i teoremi e sempre quelli più importanti sono dimostrabili solo attraverso il concetto di Limite.

Senza la teoria dei segnali non esisterebbero le telecomunicazioni, che trattano la trasmissione di segnali su un mezzo trasmissivo (cavo, etere, ecc) e una buona parte dell'elettronica

E i segnali più comunemente trasmessi sono chiaramente quelli NON periodici (che possono essere visti, al limite, come segnali periodici di periodo infinito).

I segnali periodici sono descritti dalla serie di Fourier, quelli non periodici dalla Trasformata di Fourier, lo spettro dei primi è a frequenza discreta, lo spettro dei secondi è a frequenza continua
Da qui l'importanza della trasformata di fourier.

La descrizione dei segnali periodici (e con un ragionamento al limite NON periodici) come somma di compenenti armoniche sinusoidali (funzioni sinusoidali del tempo) è fondamentale in ingegneria perchè i sistemi che trasmettono o elaborano segnali sono di solito modellizzabili come sistemi lineari

E un sistema lineare avente in ingresso un segnale sinusoidale di frequenza f0 ha come uscita ancora un segnale sinusoidale, modificato di solito in ampiezza e fase iniziale (con legge dipendente dal valore della frequenza f0), ma con la stessa frequenza f0 dell'ingresso sinusoidale

E ancora nei sistemi lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui l'uscita di un sistema lineare può essere ricavata sommando i contribuiti elementari forniti da ogni armonica in ingresso, presa separatamente dalle altre.

Il diagramma della risposta in frequenza di un amplificatore, un microfono, un canale di trasmissione altro non descrive che il rapporto tra l'ampiezza della sinusoide di uscita e l'ampiezza della sinusoide di ingresso in funzione della frequenza della sinusoide (armonica) di ingresso.

Se non fosse possibile scomporre un segnale in somma di componenti armoniche sinusoidali (serie/trasformata di Fourier) verrebbero a cadere tutti i modelli matematici usati in elettronica e telecomunicazioni

Un uso interessante della serie di Fourier in AT, se n'è parlato spesso anche in FOL nelle sezioni di approfondimento, è appunto nell'analisi ciclica, per individuare cicli di durata temporale diversa, ma bisogna essere molto bravi per interpretare i risultati (io non ci sono mai riuscito)

 

[liveevil]

quando vogliamo far generare ad un computer numeri casuali utilizziamo algoritmi che creano sequenze solo apparentemente casuali, ma che sono assolutamente deterministiche (anche quando utilizziamo clock e diavolerie simili). E non siamo assolutamente in grado di fare altrimenti.

e, per esempio, le sequenze di cifre di un calcolo con miliardi di cifre decimali del pi-greco, che mi dici? O dell'equazione logistica

 

[piof]

Da qui l'importanza della trasformata di fourier.

E anche indipendentemente da quel significato ingegneristico legato a ciò che descrivi, la trasformata ha un...significato che a me è sempre parso significativo, dal punto di vista puramente matematico

Un uso interessante della serie di Fourier in AT, se n'è parlato spesso anche in FOL nelle sezioni di approfondimento, è appunto nell'analisi ciclica, per individuare cicli di durata temporale diversa, ma bisogna essere molto bravi per interpretare i risultati (io non ci sono mai riuscito)

Ci avevo pensato pure io, prima o poi vi proverò

 

[torre1]

......
Ci avevo pensato pure io, prima o poi vi proverò

Non sono esperto in materia, ma credo che il rischio maggiore sia applicare la trasformata di Fourier (una serie storica è una grandezza variabile nel tempo ma non periodica) dimenticandosi che l'analisi da informazioni sul passato ma non sul futuro.
Potranno anche esserci delle ricorrenze, ma il rischio di prendersi cantonate è elevato.
D'altronde, se bastasse applicare l'analisi armonica ad una serie storica per ottenere informazioni certe sui grandi movimenti di lungo periodo (forniti dalle armoniche a bassa frequenza) saremmo tutti ricchi
Non escludo che su titoli particolarmente regolari, di per sè ciclici e/o legati alla stagionalità, si possano ottenere informazioni più attendibili, ma su questo lascio la parola agli esperti

 

[piof]

Non sono esperto in materia, ma credo che il rischio maggiore sia applicare la trasformata di Fourier (una serie storica è una grandezza variabile nel tempo ma non periodica) dimenticandosi che l'analisi da informazioni sul passato ma non sul futuro.
Potranno anche esserci delle ricorrenze, ma il rischio di prendersi cantonate è elevato.

Sì, ma infatti probabilmente proverei per svago

 

[amartya78]

Senza la teoria dei segnali non esisterebbero le telecomunicazioni, che trattano la trasmissione di segnali su un mezzo trasmissivo (cavo, etere, ecc) e una buona parte dell'elettronica

E i segnali più comunemente trasmessi sono chiaramente quelli NON periodici (che possono essere visti, al limite, come segnali periodici di periodo infinito).

I segnali periodici sono descritti dalla serie di Fourier, quelli non periodici dalla Trasformata di Fourier, lo spettro dei primi è a frequenza discreta, lo spettro dei secondi è a frequenza continua
Da qui l'importanza della trasformata di fourier.

La descrizione dei segnali periodici (e con un ragionamento al limite NON periodici) come somma di compenenti armoniche sinusoidali (funzioni sinusoidali del tempo) è fondamentale in ingegneria perchè i sistemi che trasmettono o elaborano segnali sono di solito modellizzabili come sistemi lineari

E un sistema lineare avente in ingresso un segnale sinusoidale di frequenza f0 ha come uscita ancora un segnale sinusoidale, modificato di solito in ampiezza e fase iniziale (con legge dipendente dal valore della frequenza f0), ma con la stessa frequenza f0 dell'ingresso sinusoidale

E ancora nei sistemi lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui l'uscita di un sistema lineare può essere ricavata sommando i contribuiti elementari forniti da ogni armonica in ingresso, presa separatamente dalle altre.

Il diagramma della risposta in frequenza di un amplificatore, un microfono, un canale di trasmissione altro non descrive che il rapporto tra l'ampiezza della sinusoide di uscita e l'ampiezza della sinusoide di ingresso in funzione della frequenza della sinusoide (armonica) di ingresso.

Se non fosse possibile scomporre un segnale in somma di componenti armoniche sinusoidali (serie/trasformata di Fourier) verrebbero a cadere tutti i modelli matematici usati in elettronica e telecomunicazioni

Un uso interessante della serie di Fourier in AT, se n'è parlato spesso anche in FOL nelle sezioni di approfondimento, è appunto nell'analisi ciclica, per individuare cicli di durata temporale diversa, ma bisogna essere molto bravi per interpretare i risultati (io non ci sono mai riuscito)

Ti ringrazio della spiegazione, sapevo che era utilizzatissimo nella teoria dei segnali.

 

[PGiulia]

Perchè dico che il Cervello o meglio l'Intelligenza non è Fisica...

Lo dico perchè sia la Matematica e la Fisica sono tali se rispettano certe regole basilari, alcune così che mi vengono in mente

1) un evento Fisico è tale se è Riproducibile infinite volte ed infinite volte ci da lo stesso risultato.
2) Una Teoria Fisica si accetta se non è in contraddizione con l'evidenza empirica ottenuta tramite esperimenti

mi sembrano tre regole universalmente accettate...

Queste regole spazzerebbero fuori dal campo della fisica qualunque teoria quantistica, ed ovviamente non è così

Direi a questo punto di utilizzare i termini nel loro significato comune, altrimenti ognuno si crea una sua fisica personale e non si capisce più un cavolo!

Per cominciare può andare bene questa: Fisica - Wikipedia

(la riproducibilità di un esperimento è sicuramente un parametro importante, ma non definisce certo cosa sia fisico e cosa non lo sia)

...Non solo, si è posto il problema che la nostra intelligenza sia spiegabile ma che oggi non sappiamo abbastanza per capirla, e chi l'ha detto che sia spiegabile!...

E questo è esattamente quello che ho detto nella mia apertura al discorso, aggiungendo successivamente anche che non è stato solo Godel a tracciare un limite invalicabile alla nostra capacità di comprensione della mente umana:

Anche se MAESTRO cita spesso Ashby, il vero padre della cibernetica secondo me è stato Wiener (si Cren, proprio lui), ma entrambe, per non citare per l'ennesima volta Godel, hanno trovato, grazie al concetto di "complessità" di un sistema, un'altra strada per capire che c'è un limite invalicabile alla nostra comprensione profonda della coscienza.

Ci sono cose in matematica che non sono dimostrabili come il 5° postulato di Euclide ma che sono Vere, grazie all'evidenza empirica.

Tutta la Matematica si basa sulla Terna di Peano, ma che una Terna di Peano esista non è dimostrabile, eppure grazie a questa costruiamo N e da N abbiamo Z, da Z si ottiene Q da Q ricaviamo R ecc ecc. Ma tali costruzioni pur basandosi su assiomi le accettiamo perchè l'evidenza empirica c'è li fa ritenere vere.

Ora perchè io dovrei pensare che ci sia una Fisica a noi sconosciuta che spieghi il nostro comportamento quando, il nostro comportamento entra in contraddizione con una qualsiasi teoria, è pieno di eccezioni e impossibile da riprodurre?

Perchè il fatto che noi non siamo (ancora?) in grado di comprendere qualcosa non significa che quel qualcosa non esiste.

e, per esempio, le sequenze di cifre di un calcolo con miliardi di cifre decimali del pi-greco, che mi dici? O dell'equazione logistica

Pi greco è il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio. L'apparente casualità della sequenza delle sue cifre è esattamente la "misura della nostra ignoranza". Il libro "Contact" di Sagan tratta esattamente questo.

Sull'equazione logistica non capisco cosa tu intenda, ma si potrebbe dire tanto sulla funzione zeta di Riemann ed i numeri primi (pur sempre cambiando discorso). Me su questo meglio lasciar parlare amartya

Ovviamente tutto ciò che è ripetibile non può essere intrinsecamente casuale (a meno di una fortuna sfacciata!!! )

 

[amartya78]

Queste regole spazzerebbero fuori dal campo della fisica qualunque teoria quantistica, ed ovviamente non è così

Direi a questo punto di utilizzare i termini nel loro significato comune, altrimenti ognuno si crea una sua fisica personale e non si capisce più un cavolo!

Per cominciare può andare bene questa: Fisica - Wikipedia

(la riproducibilità di un esperimento è sicuramente un parametro importante, ma non definisce certo cosa sia fisico e cosa non lo sia)

Sono d'accordo.

Quando intendevo Fisica, intedevo dire appartenente alla materia Fisica.

Dubito che la teoria quantistica non sia stata approcciata con il metodo scientifico. (su questo FrankB può illustrarci)

Il punto, forse, è che sebbene la teoria quantistica ci offre spunti di casualità, tale casualità non è mai in contraddizione, cioè si muove sempre con verso concorde, da A a B.

Faccio subito un esempio.
Ipotizziamo che ci siano due situazioni che vengano raccontate ad un osservatore (immaginiamo che sia dotato di cultura media e conosca un pò di Fisica)una che non prevede l'interazione umana l'altra si e si facciano all'osservatore alla fine del racconto una domanda per ogni racconto.

Il primo racconto è: c'è un contenitore che contiene del gas che viene messo a contatto con una sorgente di calore. Cosa succede al gas?
il secondo racconto è: ci sono due persone che camminano in successione, alla persona davanti cade un mazzo di banconote da 500 euro che vengono raccolte dalla persona che segue: Cosa fa con i soldi?

Nel primo caso non ci sono dubbi, la risposta è il gas si espande, nel secondo caso invece le risposte possono essere tante, probabilmente potrebbero essere:
1) Probabilmente li tiene con sè;
2) Probabilmente ne restituisce una parte;
3) Probabilmente li restituisce.

Faccio notare che la risposta al quesito non è solo determinata dalla conoscenza del fenomeno, non solo è determinata dalle conoscenze e/o educazione dell'osservatore ma è anche determinata dalle condizioni in cui si trova l'osservatore

Se l'osservatore è una persona onesta fino al midollo ed è economicamente sana in quel momento magari risponderà 3.

E se fosse onesta ma in quel momento è in stato di necessità?

E tutti i gradi da 1 a 3?

In ogni caso, qualsiasi sia la risposta essa è probabilmente sbagliata perchè data sulla base delle proprie conoscenze e non di quelle relative al fenomeno.

Chi è la persona che segue?

Insomma un ginepraio infinito di possibili risposte, anche in contraddizione, che mi fanno rifiutare un approccio Fisico.

Come dicevo ieri su una risposta a FrankB, su certi comportamenti abbastanza razionali e grazie alle leggi sui grandi numeri possiamo intuire la direzione, ma appena il nostro insieme di riferimento diminuisce regna il caos.


Magari c'è una spiegazione, un nesso di causa ed effetto ma se si vuole coglierlo bisogna guardare oltre.

Dio?

 

[PGiulia]

...Il punto, forse, è che sebbene la teoria quantistica ci offre spunti di casualità, tale casualità non è mai in contraddizione, cioè si muove sempre con verso concorde, da A a B.

Ma che significa che la casualità della teoria quantistica si muove sempre con verso concorde? A me non risulta affatto.

Ed anche se fosse, nulla vieta la formulazione di una teoria "fisica" che contempli un movimento "con verso discorde" (qualunque cosa voglia significare).

Faccio subito un esempio.
Ipotizziamo che ci siano due situazioni che vengano raccontate ad un osservatore (immaginiamo che sia dotato di cultura media e conosca un pò di Fisica)una che non prevede l'interazione umana l'altra si e si facciano all'osservatore alla fine del racconto una domanda per ogni racconto.

Il primo racconto è: c'è un contenitore che contiene del gas che viene messo a contatto con una sorgente di calore. Cosa succede al gas?
il secondo racconto è: ci sono due persone che camminano in successione, alla persona davanti cade un mazzo di banconote da 500 euro che vengono raccolte dalla persona che segue: Cosa fa con i soldi?

Nel primo caso non ci sono dubbi, la risposta è il gas si espande, nel secondo caso invece le risposte possono essere tante, probabilmente potrebbero essere:
1) Probabilmente li tiene con sè;
2) Probabilmente ne restituisce una parte;
3) Probabilmente li restituisce.

Faccio notare che la risposta al quesito non è solo determinata dalla conoscenza del fenomeno, non solo è determinata dalle conoscenze e/o educazione dell'osservatore ma è anche determinata dalle condizioni in cui si trova l'osservatore

Se l'osservatore è una persona onesta fino al midollo ed è economicamente sana in quel momento magari risponderà 3.

E se fosse onesta ma in quel momento è in stato di necessità?

E tutti i gradi da 1 a 3?

In ogni caso, qualsiasi sia la risposta essa è probabilmente sbagliata perchè data sulla base delle proprie conoscenze e non di quelle relative al fenomeno.

Chi è la persona che segue?

Insomma un ginepraio infinito di possibili risposte, anche in contraddizione, che mi fanno rifiutare un approccio Fisico.

Semplificando, questo esempio equivale al mio sul numero casuale generato dalla mente piuttosto che da un algoritmo.

Ma se la fusione di un nucleo genera tanta energia, allora perchè un piccolo fenomeno fisico casuale (che sia quantistico o qualunque altra cosa) non può determinare un nostro comportamento macroscopico?

Come dicevo ieri su una risposta a FrankB, su certi comportamenti abbastanza razionali e grazie alle leggi sui grandi numeri possiamo intuire la direzione, ma appena il nostro insieme di riferimento diminuisce regna il caos.

Quando i comportamenti sono più comuni e con meno interazioni competitive, oppure quando da campioni significativi si vuole estrapolare informazioni generali, la statistica (che non è fisica) può funzionare.

Quando la fisica vuole studiare fenomeni caotici troppo complessi nella loro dinamica, è lei che prende a prestito la scienza statistica, e non il contrario.

Invece quando si vogliono studiare/prevedere i mercati, è tutt'altro discorso. Non basta certo la fisica. A meno che non si voglia chiamare tutta la realtà "fisica", ed allora economia, statistica, politica, matematica, storia, filosofia, letteratura ... diventa tutto "fisica".

 

[PGiulia]

...Magari c'è una spiegazione, un nesso di causa ed effetto ma se si vuole coglierlo bisogna guardare oltre.

Dio?

Resta comunque il problema della coscienza, intesa come consapevolezza.

Anche se fosse legata alla fisica del caso, come potrebbe essere spiegata?

Direi che accettare un sano e costruttivo dubbio, anche strutturale, è sempre meglio che affidarsi a Dio.

 

[liveevil]

Pi greco è il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio. L'apparente casualità della sequenza delle sue cifre è esattamente la "misura della nostra ignoranza". Il libro "Contact" di Sagan tratta esattamente questo.

Sull'equazione logistica non capisco cosa tu intenda, ma si potrebbe dire tanto sulla funzione zeta di Riemann ed i numeri primi (pur sempre cambiando discorso). Me su questo meglio lasciar parlare amartya

Ovviamente tutto ciò che è ripetibile non può essere intrinsecamente casuale (a meno di una fortuna sfacciata!!! )

ho citato l'equazione logistica perchè a ogni iterazione esce un numero > 0; < 1 diverso e non predeterminabile.
Se poi inizializzi l'equazione logistica con gli stessi parametri, avrai gli stessi risultati, è ovvio... però se continui a eseguire il calcolo avrai sempre nuovi numeri.
Parlo da programmatore ignorante, di quel che ho sottomano.

 

[fdg86]

E' recente il fatto che molti storici della Matematica stiano ri-considerando le scoperte dei matematici antichi, sopratutto Archimede, e risulta stupefacente sapere come i greci(Euclide, Archimede, Pitagora ecc ecc) fossero a conoscenza di verità matematiche moderne ben 2.500 anni fa e che verranno riprese e meglio formalizzate solo a partire dal 1700.

Un libro interessante a tal riguardo e´ "La rivoluzione dimenticata: il pensiero scientifico greco e la scienza moderna" di Lucio Russo.

 

[fdg86]

1) La volontà è una forza che interagisce ed interferisce con i fenomeni probabilistici di natura quantistica, influenzandoli. Tuttavia per supportare questa tesi dovrei pensare o a spiriti che abitano i corpi (just no) oppure a proprietà emergenti del cervello. Ancora questo richiederebbe l'esistenza nel cervello di strutture macroscopiche con proprietà quantistiche (es. l'affascinante ipotesi formulata da Penrose), che però non mi pare abbiano grande supporto empirico.

A riguardo, consiglio questo libro:

The Emerging Physics of Consciousness

tutt'altro che semplice, ho dovuto forzatamente saltare alcune parti. Ma rewarding. Il supporto empirico e´ in via di formazione, se non altro perche´ non si riescono ad intravedere formulazioni del problema alternative.

 

[thetruth34]

A proposito di fisica ed economia... Complex theory applicata ai mercati finanziari.

Dal basso della mia ignoranza ci ho capito poco, ma sembra interessante! Questo un piccolo riassunto e qui un breve approfondimento dagli autori con file excel dei findings.

Oserei dire conclusioni un po' scontate: pochi(ssimi) controllano molt(issim)o, senza ovviamente riferimenti a complottismo, e questo pone un rischio sistemico per l'economia globale, però l'approccio (e la grafica!) per formalizzarlo è sicuramente interessante.

 

[PGiulia]

A proposito di fisica ed economia... Complex theory applicata ai mercati finanziari...

Adoro i TED. Brainstorming d'eccellenza.

Una chicca :

About 10 years ago, Mr. Tronchetti Provera had ownership and control in a small company, which had ownership and control in a bigger company. You get the idea. This ended up giving him control in Telecom Italia with a leverage of 26. So this means that, with each euro he invested, he was able to move 26 euros of market valuethrough the chain of ownership relations.

E il finale è carino:

Now there is still a big problem, in my opinion. Ideas relating to finance, economics, politics, society, are very often taintedby people's personal ideologies. I really hope that this complexity perspective allows for some common ground to be found. It would be really great if it has the power to help end the gridlock created by conflicting ideas, which appears to be paralyzing our globalized world. Reality is so complex, we need to move away from dogma. But this is just my own personal ideology.

 

[thetruth34]

Adoro i TED. Brainstorming d'eccellenza.

Una chicca :

About 10 years ago, Mr. Tronchetti Provera had ownership and control in a small company, which had ownership and control in a bigger company. You get the idea. This ended up giving him control in Telecom Italia with a leverage of 26. So this means that, with each euro he invested, he was able to move 26 euros of market valuethrough the chain of ownership relations.

E il finale è carino:

Now there is still a big problem, in my opinion. Ideas relating to finance, economics, politics, society, are very often taintedby people's personal ideologies. I really hope that this complexity perspective allows for some common ground to be found. It would be really great if it has the power to help end the gridlock created by conflicting ideas, which appears to be paralyzing our globalized world. Reality is so complex, we need to move away from dogma. But this is just my own personal ideology.

Verissimo per quanto riguarda il finale, mi ero dimenticato di segnalarlo

Pure come pronuncia nel video Tronchetti-Provera è fantastico