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Geometrie non euclidee

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nickilista

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Qualcuno ne sa qualcosa?
(Quando ero alle medie, ricordo che posi, suppongo in maniera del tutto fortuita, una domanda all'allora professore di matematica, Cammarota, il quale mi rispose che tale quesito non abbracciava il campo della geometria euclidea.
Non ricordo cosa domandai.)

Grazie per le risposte (eventuali)
 
basta chiedere,che ce vò.

Ora vado a chiedere all'esperta.Se non sta mangiando.


Camillaaaaaaaaaaaaaaaaa!
 
dunque

relata refero.
Ambasciator non porta pene.
 
Nel III secolo a.C. Euclide si pose il problema di riordinare tutte le conoscenze geometriche del suo tempo in un discorso logico dove tutto ciò che segue si deduce razionalmente da quanto precede. Egli dunque raccolse e schematizzò tutto quanto era conosciuto ai suoi tempi sulla geometria piana e solida. L'opera che ne risultò, gli Elementi di Euclide, era così ben fondata che fu considerata praticamente il libro sacro della geometria per più di duemila anni. Si tratta certamente di una delle opere che ha resistito di più al tempo.
 
Mentre lavorava alla formulazione della sua grandiosa opera, essenzialmente fondata sul rigore e su nessi logici molto stretti, Euclide si accorse però di dover ammettere senza alcuna giustificazione almeno gli enti di cui parlava e per questo enunciò i postulati.



Postulato viene da postulo e Euclide lo assunse per significare: "chiedo che mi venga concesso di ammettere queste poche cose, esse mi permetteranno di giustificare razionalmente tutto il resto".

Egli stabilì cinque postulati da usare come "piano terra" dell'infinito grattacielo della geometria, di cui i suoi Elementi costituivano solo le prime centinaia di piani.
 
I primi quattro postulati sono piuttosto concisi ed eleganti:

I. Da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto;

II. Ogni retta terminata si può prolungare continuamente per diritto;

III. Con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio;

IV. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;



Il quinto tuttavia non aveva la stessa eleganza:

V. Se una retta incontrandone altre due forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due retti, le due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti.



In realtà di tale postulato se ne può dare una versione equivalente, che poi è quella più famosa, che giustifica il nome dato al quinto postulato, detto "postulato delle parallele". Tale formulazione è la seguente:



per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela.
 
Sebbene non l'abbia mai detto esplicitamente, Euclide considerava il quinto postulato in qualche modo inferiore agli altri, visto che fece in modo di evitarne l'uso nelle prime ventotto proposizioni. Perciò la prime ventotto proposizioni appartengono a quella che potrebbe essere chiamata "geometria dei quattro postulati", cioè a quella parte della geometria che può essere derivata sulla base dei primi quattro postulati, senza l'aiuto del quinto. Questa parte è spesso chiamata geometria assoluta.

Certo, Euclide avrebbe preferito di gran lunga dimostrare questo brutto anatroccolo, invece di doverlo presupporre. Ma non riuscì a trovare una dimostrazione, e quindi l'adottò.
 
Neanche ai discepoli di Euclide piacque molto dover presupporre questo quinto postulato. Nei secoli che seguirono, innumerevoli persone dedicarono la loro vita al tentativo di dimostrare che il quinto postulato era esso stesso parte della geometria dei quattro postulati. Fino al 1763 vennero pubblicate almeno ventotto dimostrazioni diverse, tutte erronee! Oggi si può affermare che quasi nessuna di queste dimostrazioni ha interesse matematico o storico; ma ci sono alcune eccezioni. Sono state proprio queste ultime a dare vita alle cosiddette Geometrie Non Euclidee, che hanno rivoluzionato il pensiero umano e hanno aperto strade fini ad allora inesplorate in campo filosofico e matematico.
 
Scritto da nickilist@
Qualcuno ne sa qualcosa?
(Quando ero alle medie, ricordo che posi, suppongo in maniera del tutto fortuita, una domanda all'allora professore di matematica, Cammarota, il quale mi rispose che tale quesito non abbracciava il campo della geometria euclidea.
Non ricordo cosa domandai.)

Grazie per le risposte (eventuali)
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Ma dimmi una cosa.
Davvero a te, alla 1 e zero quattro del mattino, ti vengono in mente 'ste robe ?
Avevi mangiato peperoni ripieni con pantegane fritte ?

Enig Mistico
 
Probabilmente ha avuto un incubo in cui la prof lo interrogava sulla geometria non euclidea e si è svegliato di soprassalto alle una.
 
Il tentativo di dimostrarlo, a partire dai primi quattro, fallì. Ma il problema era ormai divenuto di pubblico dominio e si era trasformato in una vera e propria sfida fra matematici.

Si pose all'attenzione dei matematici il problema di vedere se il V postulato fosse una conseguenza dei primi quattro e quindi dimostrabile con un teorema, oppure fosse da essi indipendente e quindi un vero assioma.





io mi fermerei qui.Anche perchè Camilla adesso è in bagno.
 
Osserviamo per inciso che il padre di Bolyai, intimo amico del grande Gauss, lavorò a lungo al progetto di dimostrare il quinto postulato di Euclide. In una lettera al figlio Janos, egli tentò di dissuaderlo dall'impegnarsi su tali argomenti:



"Tu non devi avvicinarti al problema delle parallele. Conosco questa via fino in fondo. Ho attraversato questa notte senza fine, che ha spento ogni luce e gioia della mia vita. Ti supplico, abbandona la scienza delle parallele...Io pensavo di sacrificarmi per amore della verità. Ero pronto e diventare un martire che avrebbe rimosso la macchia dalla geometria e l'avrebbe restituita purificata all'umanità. Feci un lavoro enorme, mostruoso; per quanto le mie creazioni siano di gran lunga migliori di quelle di altri, pur non ho avuto completa soddisfazione. Tornai indietro quando vidi che nessun uomo può raggiungere il fondo di questa notte. Tornai indietro sconsolato, compatendo me stesso e tutta l'umanità...Ho attraversato tutte le scogliere di questo infernale Mare Morto e sono sempre tornato indietro con gli alberi rotti e le vele strappate. Da allora persi il mio interesse e iniziò la mia caduta. Avevo sconsideratamente rischiato la mia vita e la mia felicità."
 
Si perviene a diversi tipi di geometrie noneuclidee negando in modi diversi il postulato delle parallele e traendone le conseguenze. Ricordiamo cosa afferma il postulato:

Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela.

Si osservi che se si vuole negare la frase "esiste una ed una sola parallela", ciò lo si può fare in due modi: o affermando che la parallela non esiste, oppure affermando che esiste ma non è unica, cioè che ne esistono almeno due. Ebbene, se si afferma che la parallela non esiste, si perviene alla geometria ellittica; se si afferma che esistono almeno due parallele si perviene alla geometria iperbolica. Osserviamo per inciso che la ragione per cui tali variazioni vengono ancora chiamate "geometrie" è che vi si trova incorporato il nucleo centrale della geometria, cioè la geometria dei quattro postulati o assoluta. Proprio per la presenza di questo nucleo minimo è ragionevole pensare che queste strutture descrivano anch'esse le proprietà di un qualche tipo di spazio geometrico, sia pure non così intuitivo come lo spazio ordinario.
 
Il punto cruciale sta proprio qui, cioè nell'interpretazione che occorre dare ai termini usati nella geometria. Secondo Euclide infatti i termini "punto", "retta", "cerchio" e così via non si potevano definire in alcun modo, perché ciascuno di noi ha già un concetto chiaro di cosa siano, e nell'interpretazione che diamo alle proposizioni geometriche facciamo riferimento senza dubbio a ciò che la nostra mente conserva relativamente a quei concetti. Cioè per Euclide i punti e le rette di cui si parla in geometria, sono proprio i punti e le rette del mondo reale. Invece se si riesce a liberarsi dalle idee preconcette su cosa sia una retta o un punto, e si lascia semplicemente che una retta sia qualcosa che soddisfi le nuove proposizioni (noneuclidee), allora si giunge a un punto di vista radicalmente nuovo. Fu proprio questa la grande intuizione degli scopritori della geometria noneuclidea.

Dunque le geometrie noneuclidee descrivono le proprietà di spazi geometrici che non sono come il mondo reale che ci circonda e al quale siamo abituati, ma spazi geometrici molto meno intuitivi. In realtà, la geometria ellittica può essere visualizzata abbastanza facilmente, facendo riferimento al mondo reale ma non nella maniera che ci verrebbe naturale. Si devono semplicemente considerare i punti e le rette e così via come parti della superficie di una comune sfera, intesa in senso normale. In tale geometria, il "punto" è una coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie della sfera. Una "retta" è invece un cerchio massimo (cioè passante per il centro) della sfera.
 
Abbiamo detto che Euclide fu il primo a costruire un sistema assiomatico (vedi logica) coerente per la geometria, un po' come avrebbe fatto Peano molto tempo dopo per l'aritmetica, tralasciamo qui tutti gli assiomi di Euclide tranne l'ultimo, che sicuramente fu il più importante e il più contestato.

Tutti gli altri assiomi enunciavano cose intuitive, che erano chiaramente vere senza ombra di dubbio, per esempio è chiaro che per due punti passa una e una sola retta, il quinto e ultimo assioma invece era molto più elaborato: in termini moderni esso suonerebbe così considerato un punto P esterno a una retta data r, esiste una e una sola retta s tale che r//s (r//s significa r parallela a s), si vede subito che non è intuitivo come gli altri assiomi, anche se a pensarci bene troviamo che esso è in accordo con il nostro intuito. Ricordo che tutta la geometria di Euclide, da un certo punto in poi, fa un uso sistematico di questo assioma, quindi se esso fosse confutato tutta questa geometria cadrebbe, per esempio la dimostrazione che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto fa uso di questo assioma, quindi se esso fosse sbagliato non ci sarebbe più alcuna garanzia dell'esattezza di questo teorema. Il quinto assioma ha più l'aspetto di un teorema piuttosto che un postulato (sinonimo di assioma), infatti per secoli moltissimi matematici hanno provato a dimostrarlo sulla base degli altri quattro assiomi, finché Gauss non ebbe la geniale idea di non cercare di dimostrarlo, ma piuttosto di vedere cosa sarebbe successo se si fosse considerato falso, si dimostrò più avanti che infatti questo assioma è in realtà non è decidibile (vedi logica)
 
La geometria di tutti i giorni è la geometria euclidea, quella cioè dove il quinto assioma è accettato come vero. Questa è la geometria più semplice, che tutti abbiamo bene o male studiato a scuola, la geometria che anche Euclide conosceva, in particolare se andiamo ad analizzare un triangolo in questo tipo di geometria troviamo che la somma dei suoi angoli interni è uguale a un angolo piatto, niente da dire, se andate a fare la prova con un goniometro troverete che questo è sempre vero. Inoltre studiando due rette parallele, che ricordo sono due rette che non si incontrano mai, si nota che la distanza fra loro rimane costante, questa proprietà viene spesso assunta come definizione di rette parallele, perché intuitivamente una cosa implica l'altra, e questo è vero se accettiamo il quinto assioma, la matematica ha comunque bisogno di definizioni rigorose, quindi due rette parallele sono due rette che non hanno punti in comune, indipendentemente dalla loro distanza, questo è un fatto importante da tenere a mente, anche se va contro l'intuizione.

Non approfondirò qui l'argomento della geometria euclidea, dato che tutti a grandi linee la conoscono, è la geometria per antonomasia, quella vera, che sembra spiegare bene il mondo reale.

Sembra dunque che, anche se non è dimostrabile, il quinto assioma debba essere accettato, in quanto descrive la realtà così com'è, ma ai matematici non interessa che una teoria descriva qualcosa di concreto, basta che sia concettualmente corretta.
 
Pero' anche tu mi sa che hai una dieta che comporta una digestione faticosa, forse allucinogena.

Enig Mistico
 
Re: Re: Geometrie non euclidee

Scritto da Enig Mistico
Ma dimmi una cosa.
Davvero a te, alla 1 e zero quattro del mattino, ti vengono in mente 'ste robe ?
Avevi mangiato peperoni ripieni con pantegane fritte ?

Enig Mistico
Clicca per espandere...
O Enig, vuoi sapere la "cosa" e io dirò la cosa, almeno un po'.
All'una e zeroquattro, ieri, ero in piena fase digerente: presumo che i miei organi interni lavorassero alla trasformazione di un saltimbocca con provola e prosciutto crudo (questi i nomi sulle relative confezioni).
Quanto ai peperoni (frutti o ortaggi -?- di vaga forma cilindrica con le estremità ancora vagamente dentellate), quelli proprio non li digerisco: l'ultima volta che, consapevolmente, ne consumai qualcuno, fu quando, in una notte di bagordi, verso le ore quattro del mattino andai alla focacceria "Il Golosone" e, dopo aver ingurgitato un trancio di focaccia con "sasicc e friariell", pensai bene di fare il bis con una ai peperoni: quella notte, ebbi gli incubi. Lo giuro. (A dire il vero un po', un altro po' mi piacciono quelli verdi, piccoli; se, per caso, li vedo su qualche tavolo in un piatto di portata, uno lo prendo, afferrandolo rigorosamente con l'indice e il pollice, quasi a volergli dire, stagliandolo dalla massa dei suoi simili: "so che mi farai male, ma voglio rischiare")
Delle pantegane fritte, qui non si ha contezza. Posso garantirti , però, che se fossero commestibili la Nostra ridente città di Napoli ne esporterebbe a palate.
 
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