francs
statistico-caina
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Investire in Opzioni
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Gianni78bari
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criminoso esageratose devo parlare per me il mio uso è a livello di divertissement.
Infatti se qualcuno mi chiedesse al momento un investimento fattibile con rischi limitati gli direi comprare appartamenti di minima metratura in centri universitari e produttivi, spesso li compri già con l'inquilino dentro con dietro subito un altro a subentrare e alla prima occasione lo rivendi bene se ne hai bisogno.
Ed incidentalmente in uno di questi ci puoi piazzare l'amichetta/o in cerca di sistemazione temporanea (per chi è portato per queste cose
).Non sono considerati effetti prociclici di copertura del portafoglio e conseguente direzionalità.Ma questo aggiustamento per passare da densità implicita a reale è quello che viene menzionato nel secondo punto, giusto?
Se ho capito bene, questo è solo funzione del premio per il rischio. Ma attività come l'hedging, nel primo punto, dovrebbero essere scollegate a quest'ultimo per cui non ho capito se l'aggiustamento di cui parli possa tenere conto anche di questi meccanismi di mercato.
the learner
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Grazie per il chiarimento Cren. C'è modo per "pulire" le volatilità da questi effetti e poi estrarre la distribuzione implicita o si deve semplicemente abbandonare l'idea di usarle in questi casi? L'articolo sembra suggerire questo in realtà: "Using the implied distribution associated to a volatility smile/skew to make any prediction would likely prove not useful, especially after a large movement in the markets."
In realtà continuiamo a girare attorno allo stesso argomento: quella coda sinistra più grassa non è indicativa di una aspettativa negativa da parte degli operatori semplicemente perchè tutti i prezzi sono ottenuti per non arbitraggio e quindi lì dentro c'è riflesso solo il costo dell'hedging associato a una determinata volatilità.
E' la stessa cosa che contestavo all'autore dell'articolo pubblicato da Blacksmith. qualche pagina indietro, ovvero il fatto che usasse una distribuzione neutrale al rischio per valutare dove si sarebbe trovato il sottostante a scadenza: questa cosa non ha senso.
Per "aggiustare" è sufficiente introdurre un premio al rischio nel processo del sottostante, ma in realtà si entra in un corto circuito logico: se conosci il premio al rischio e il mercato no, non ha senso che siamo qui a parlare di posizioni Delta-neutrali e opzioni perchè sai già cosa devi fare per diventare ricchissimo.
Ora che abbiamo sgombrato il campo dalla parte teorica, veniamo a quella pratica: ci sono studi secondo i quali la skew della volatilità implicita è un fattore e per altro cross-asset, quindi formando un portafoglio che va lungo del 10% delle asset class con la maggior skew e corto del 10% delle asset class con la minor skew si ottiene una performance positiva; alla base - come giustificazione teorica - ci sarebbe la preferenza degli operatori per asset con coda destra grassa, caricando quindi di maggior premio al rischio quegli asset con coda sinistra grassa (rimangono "indietro").
Peccato che vi siano altrettanti studi che ribaltano queste considerazioni per le azioni, adducendo l'insider trading come causa.
Jac12
e adesso???
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Non sono considerati effetti prociclici di copertura del portafoglio e conseguente direzionalità.
se devo parlare per me il mio uso è a livello di divertissement.
Infatti se qualcuno mi chiedesse al momento un investimento fattibile con rischi limitati gli direi comprare appartamenti di minima metratura in centri universitari e produttivi, spesso li compri già con l'inquilino dentro con dietro subito un altro a subentrare e alla prima occasione lo rivendi bene se ne hai bisogno.
Ed incidentalmente in uno di questi ci puoi piazzare l'amichetta/o in cerca di sistemazione temporanea (per chi è portato per queste cose
Gianni78bari
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era una mezza boutade adeguata al tono delle battute, cmq siamo strafuori topic, come si scelgono le azioni si scelgono i locali per posizione e metratura con un occhio alla possibilità di applicare il concordato negli affitti. Ma chi lo fa non è poco ricco e ha una specie di possibilità di insider trading, cioè chi gli passa le occasioni. Parlo di cosa mi capita di vedere concretamente. Ne mettono insieme 10/15. E' chiaro che avendo "solo" 200k non mi cimenterei. Chiedo scusa per la divagazione
Tornando in topic ringrazio cren per il materiale e le risposte.
francs
statistico-caina
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Io ho fatto proprio ieri una proposta di legge per l'introduzione del reato di blablability matematica.
Blacksmith.
AoK Heaven
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Cren esprime in modo accademico lo stesso concetto che Gianni78 ha evidenziato nella semplificazione binomiale: i prezzi delle opzioni sono indifferenti alla direzionalità attesa degli operatori.
Per conto mio non ho mai visto opzioni quotate, me ne sono interessato nel tempo libero del lockdown solo in quanto espressioni della volatilità. La mia attitudine alla semplificazione di cose apparentemente complesse mi ha portato alla parametrizzazione della curva dei prezzi delle opzioni in funzione della moneyness. La pendenza di quella curva è il delta: la tangente è orizzontale dotm e a 45` ditm. La sua curvatura segue la distribuzione normale in B&S (è piatta agli estremi e massima al centro), discostandosene un po' nella realtà.
Le scienze sperimentali partono da misurazioni messe in grafici e cercano di scoprire se le loro possibili parametrizzazioni esprimono leggi di natura.
Io condivido il tuo punto di vista che le paure e le avidità degli operatori non possano essere considerate come leggi di natura da parametrizzare. Questo tipo di finanza matematica non è una scienza, è piuttosto una pseudo-scienza.
Ciò non toglie però che negli ultimi due decenni gli ingegneri si siano specializzati nella modellazione dei comportamenti irrazionali e negli ultimi anni ci sia stato anche un premio nobel assegnato per gli studi sulla finanza comportamenrale.
Blacksmith.
AoK Heaven
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Infatti. Se la curva teorica dei prezzi si ottiene con due integrali partendo da una distribuzione normale, ha poco senso procedere a ritroso con due derivate dalla curva dei prezzi di mercato immaginando di trovare una "verità". Vedi sempre domanda e offerta in altra forma.
Perciò, come dice francs, non bisogna considerarlo un ragionamento scientifico, volto a ricercare verità di natura. E' piuttosto un'ipotesi pseudo-scientifica per "indovinare" il sentiment degli operatori partendo dalle diverse forme della skew. Ipotesi che faceva anche Shybrazen.
Ho visto che fa riferimento, fra gli altri, a questo:
What Does Individual Option Volatility Smirk Tell Us About Future Equity Returns? by Xiaoyan Zhang, Rui Zhao, Yuhang Xing :: SSRN
Ultima modifica:
È lo stesso a cui mi riferivo io in precedenza quando ho scritto che la relazione con la skew per le azioni è opposta rispetto alle asset class a causa dell'insider trading.
Sugli ETF non puoi avere insider trading e quindi emerge la preferenza per l'asimmetria a destra che carica premio al rischio sulla coda sinistra.
francs
statistico-caina
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1 - Che tocca fa' pe' campa'. (A volte anche bene). Cmq un ingegnere è l'ultimo a cui mi rivolgerei quando si parla di matematica (prima andrei da un matematico-statistico, poi al limite da un fisico, per ultimo l'ingegnere), soprattutto di statistica. Luc Montagnier era no vax (non me l'aspettavo, la "memoria dell'acqua", la "papaya per combattere il parkinson", era ammattito).
B&S lo puoi applicare teoricamente anche alla componente casuale della variazione di dimensioni delle lampadine in uscita da una produzione automatica, che ha una distribuzione (sulle dimensioni in uscita) molto stretta e, come si allarga, significa che qualcosa non va nella produzione. Nessuno lo fa perché la componente deterministica è così dominante da rendere inutile qualsiasi modellizzazione di quella random (che anzi deve essere ammazzata il più possibile). In un sistema dominato dal caso buona fortuna coi modelli di volatilità da confrontare in un istante X oggi per trovare un ******** Y indebito nella superfice di volatilità reale oggi e ancora più buona fortuna quando scommetti soldi sul fatto che ha ragione il tuo modello cioè sulla scomparsa del ******** domani.
Poi c'è il discorso "i modelli hanno un mercato": e anche i no vax (alcuni si sono arricchiti col crowdfunding online nei paradisi fiscali e ciao, altro che quantitative finance, solo palanche coi soldi dei polli per il relativo modello matematico citofonare a loro).
Ultima modifica:
Doctor Future
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Ciao,
ipotizzando un nasdaq 100 a fine 2023 intorno ai 4000 punti, che strategia adottereste?
ipotizzando un nasdaq 100 a fine 2023 intorno ai 4000 punti, che strategia adottereste?
shybrazen
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Secondo me le opzioni non sono il miglior strumento per lavorare le ipotesi di direzionalità su tempi così lunghi. Funzionano meglio se usate per sfruttare altre opportunità che, a prescindere dalla direzionalità del sottostante, permettono buoni vantaggi operativi.
In tutti i casi per tradare la direzionalità il miglior strumento resta sempre il future. Ovviamente se al future si mette uno stop loss si interrompe la principale caratteristica dei mercati che è quella della "continuità del movimento" e si rischia di esser sbattuti fuori nel momento che magari conveniva mantenere.
Potrebbe essere una ipotesi vendere il future trimestre dopo trimestre ma coprendolo al rischio rialzo comprando call con delta piccoli e finanziando parzialmente la spesa lavorando, trimestre dopo trimestre, backspread di put a credito con rapporti di almeno 7 comprate e 3 vendute in modo da sfruttare anche eventuali e molto probabili esplosioni di volatilità che potrebbero far decollare molto velocemente il portafoglio.
In tutti i casi una entrata del genere è più un atto di fede che altro vista la implicita pericolosità di fare posizione short sui sottostanti azionari.
Questa è più o meno la posizione nei suoi tre step partendo con uno short future, poi mettendo una long call ed infine aggiungendo un backspread di put a credito che mi serve per incassare qualcosa in modo da coprire parzialmente la costosa spesa della long call e sfruttarne la vega positività.
Doctor Future
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Mille grazie!
Si immaginavo che la strategia migliore fosse quella con i futures, con ingressi programmati.
shybrazen
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Per l'effetto del Charm sarebbe un guaio se permettessi al ratio back spread di put di far diventare atm le tre opzioni vendute. Un minimo di gestione ci vuole sempre: magari si potrebbe pensare di lavorare il back spread su una scadenza ancora più lunga, ad esempio a 6 mesi e non a 3 mesi, per evitare l'effetto del "delta bleed", oppure provvedere ad un semplice rollover di posizione, negli strike e/o nel tempo, quando ci accorgiamo che il nostro backspread di put non ha più rapporti coerenti di delta fra comprate e vendute. Di fatto è impossibile evitare il paradosso della coperta corta.
Gianni78bari
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Visto che non scrive più nessuno mi prendo la libertà di riempire un po' di spazio
Continuando da dove lasciai. Comunque ho messo sul blog le parti precedenti se qualcuno fosse interessato
Con in mente le proprietà del teorema del limite centrale e della Gibrat Law, cerco di semplificare il passaggio da moto browniano a moto geometrico browniano.
Fino ad ora avevamo considerato ST= m*T + (epsilon*sigma*radice di T) + S0 → ST prezzo finale, S0(esse con zero) prezzo iniziale, m*T che rappresenta l'incremento deterministico linearmente proporzionale al tempo ed infine (epsilon*sigma*radice di T) che è l'incertezza del processo, con epsilon che rappresenta l'incertezza che si distribuisce secondo una normale standardizzata proporzionale alla volatilità del prezzo stesso ed alla radice del tempo, come visto in precedenza; il tutto sintetizza il moto browniano semplice (o aritmetico) che è la prima versione del modello introdotta da Bachelier, caratterizzato da:
- Componente deterministica costituita appunto da rendimento indipendente dal prezzo. Cioè il prezzo non aumenta di una percentuale del valore dell'asset, ad esempio 4%, ma da un valore fisso, ad esempio 4, che rimane tale sia che l'asset valga 10 sia che valga 100.
- Prezzi che possono scendere sotto lo zero.
Ripropongo l'immagine esemplificativa, dove A è la componente deterministica con in questo caso S0=0, B la componente stocastica e C la risultante. [l'immagine sopra è una generalizzazione non riferita prettamente ai prezzi azionari, non essendo possibile un prezzo iniziale = 0.] (cfr. PRIMA APPROSSIMAZIONE: MOTO BROWNIANO "SEMPLICE")
Il primo passo da considerare per ricavare il “modello geometrico dei prezzi” che quindi meno si allontana dalla realtà è quello di adeguare la componente deterministica ai presupposti di positività dei prezzi e di capitalizzazione composta.
La retta A diventa quindi una curva esponenziale. Qui non abbiamo più “m” costante dell'equazione del moto semplice, ma un rendimento K=m/S dove S è il prezzo dell'azione. In questo caso affinchè sia K a mantenersi costante, all'aumentare di S deve aumentare anche m, cioè più diventa grande S e maggiore deve essere il suo incremento.
Diventa chiaro dall'immagine sotto. Di volta in volta aggiungo prima il valore X% del prezzo iniziale S0, poi al risultato della somma S0+X%=Y aggiungo l'X% di Y, poi l'X% di Z=Y+X% ecc.
FIG.1
Se pongo un range temporale definito T e al tempo iniziale un prezzo S0 → al tempo finale in assenza di incertezze, per la capitalizzazione composta, avrò ST=S0*e^(K) (Esse con zero per “e” elevato ad K; possiamo comunque pensare anche ad un conto deposito con interessi a capitalizzazione continua; “e” in questo caso è l'esponenziale).
Da qui posso ricavare “K”, dividendo entrambi i membri per S0 ed applicando i logaritmi. Avrò K=ln(ST/S0) che è il tasso nominale di crescita dell'azione nel periodo T che per comodità possiamo considerare uguale all'unità, con prezzo iniziale S0 e prezzo finale ST. Il tasso effettivo → C= (e^K)-1 e quindi K=ln(1+C).
C è l'interesse K che viene composto di continuo nel tempo T, con C>K come logico.
Adesso all'elemento deterministico devo aggiungere quello stocastico, ferme restando le ipotesi delle caratteristiche del prezzo viste in precedenza: Markov, Martingala e contrattazione continua, senza salti di prezzo.
Dobbiamo quindi considerare il random walk seguito dal rendimento K che in realtà è soggetto all'incertezza, in quanto determinato appunto dal movimento del prezzo, quest'ultimo figlio delle contrattazioni a loro volta guidate dagli aggiustamenti nelle aspettative e nelle strategie dei trader.
Quello che dobbiamo fare è modellizzare questa incertezza come già visualizzata nel moto browniano semplice.
Partiamo individuando degli intervalli piccolissimi t nei quali suddividiamo il range temporale T all'interno del quale si compone il rendimento→ T= n*t (T è dato cioè dalla somma degli “n” t piccoli tutti uguali).
FIG.2
In ogni intervallo avremo un rapporto St(i)/St(i-1) [leggo: (Esse t con i) fratto (Esse t con i-1); con i che va da 1 a N] come di seguito esemplificato:
FIG.3
Il valore di ST/S0 è sempre positivo. Sarà maggiore di uno per rendimenti positivi, cioè con prezzo ST maggiore di S0; compreso tra zero e 1 per rendimenti negativi, cioè ST<S0.
St(i)/St(i-1)=(1+ci) quindi l'espressione in fig.3 è uguale a:
(1+c1)*(1+c2)*.......*(1+cN)
dove ci (c piccolo con i) è il rendimento in un intervallo t piccolo che si compone fino all'intervallo ennesimo. Infatti:
St(i)/St(i-1)=[(St(i) – St(i)-1)/(St(i)-1)] +1 → dove [(St(i) – St(i)-1)/(St(i)-1)] è il rendimento c. Il tasso c si compone una sola volta nell'intervallo t piccolo, ed è il rendimento effettivo c nell'intervallo t piccolo.
Logicamente più è piccolo l'intervallo t e quindi più sono le “n” parti uguali in cui si divide il periodo T grande e conseguentemente più piccolo sarà il rendimento “ci” atteso in quell'intervallo t, che ricordiamo è incerto. In altre parole più grande è l'intervallo maggiore può essere il percorso del prezzo e viceversa.
Abbiamo quindi il prodotto di elementi indipendenti. Il risultato finale è indipendente dai valori intermedi, come può vedersi dalle semplificazioni in croce della moltiplicazione nella figura3; S0 ed ST sono anch'essi indipendenti per l'efficienza debole di mercato.
Elementi indipendenti che si moltiplicano tra loro: questo mi riconduce al teorema del limite centrale moltiplicativo (Gibrat Law) che mi dice che il risultato dei prodotti dei vari 1+ci nei singoli intervalli infinitesimi t si distribuirà secondo una lognormale.
Questa lognormale rappresenta la distribuzione del prezzo di una azione con valore iniziale S0=1. Si può confrontare con il grafico della versione moltiplicativa della macchina di Galton. Si parte da S0=1 e si ha il 50% di possibilità di ritrovarsi a S0*(1+c), con c>1 ed S0*(1+c), con “c” compreso tra -1 e 0. Ripetendo N volte il procedimento avremo una distribuzione lognormale dei prezzi al tempo T grande.
Se ora applichiamo il logaritmo ad entrambi i membri della uguaglianza in fig. 3 avremo la seguente espressione:
FIG.4
La somma deriva dalla nota proprietà dei logaritmi:
ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
Adesso abbiamo dunque la somma di quantità indipendenti che, dato il ventaglio di possibilità che potrebbe seguire il prezzo, sappiamo distribuirsi secondo la gaussiana in base al teorema del limite centrale (delle somme); cioè se facciamo più volte la somma dei logaritmi in figura4, i risultati di queste somme, che sono sempre diverse in quanto i logaritmi dei St(i)/St(i-1) negli intervalli t piccolo assumono valori ogni volta diversi, si distribuiranno secondo una normale. Possiamo continuare a tenere a mente le due versioni delle macchine di Galton introdotte nel post precedente per visualizzare le distribuzioni normale e lognormale.
Perciò:
- il prodotto dei vari (1+ci), con i che va da 1 a N, si distribuisce secondo una lognormale; e questa sarebbe la distribuzione di probabilità dei prezzi di una azione con prezzo iniziale 1.
Quindi: 1*(1+c1)*(1+c2)*.......*(1+cN)=S0*(1+Ci) , con S0=1 (Ci è dato dalla somma dei vari fattori contenenti “ci”, l'unita rimane tale, verificabile direttamente facendo il conto).
- la somma dei vari ln(1+ci), con i che va da 1 a N, si distribuisce secondo una normale; e questa sarebbe la distribuzione di probabilità del rendimento nominale di quella stessa azione.
Quindi: ln(1+c1)+ln(1+c2).......+ln(1+cN)= ln(1+Ci)
Questo rendimento che si compone continuamente nell'unità di tempo applicato al prezzo S0=1 dà come risultato al tempo T il prezzo ST=S0*e^ln(1+Ci)=S0*(1+Ci)
Più avanti avremo la visualizzazione grafica di quanto appena scritto.
Possiamo inoltre notare che in assenza di incertezza, cioè con tutti i rendimenti “ci” uguali tra di loro (ci=k) nei vari intervalli t piccolo (quest'ultimi scelti di grandezza infinitesima), abbiamo che il prodotto: (1+k)*(1+k)*.......*(1+k) diventa il limite di (1+K/n)^n con “n” che tende ad infinito. Questo perchè, come detto, considerato l'intervallo T in cui abbiamo un rendimento K nominale, i rendimenti k negli intervalli t=T/n saranno uguali a K/n.
Come visto la volta scorsa il limite di (1+K/n)^n con “n” che tende ad infinito non è altro che la definizione di esponenziale e quindi abbiamo: “e^K”, con K interesse nominale nel periodo di tempo T grande.
In mancanza di incertezza al tempo T grande avremo quindi probabilità 100% di avere ST= S0*e^K.
Continuando da dove lasciai. Comunque ho messo sul blog le parti precedenti se qualcuno fosse interessato
Con in mente le proprietà del teorema del limite centrale e della Gibrat Law, cerco di semplificare il passaggio da moto browniano a moto geometrico browniano.
Fino ad ora avevamo considerato ST= m*T + (epsilon*sigma*radice di T) + S0 → ST prezzo finale, S0(esse con zero) prezzo iniziale, m*T che rappresenta l'incremento deterministico linearmente proporzionale al tempo ed infine (epsilon*sigma*radice di T) che è l'incertezza del processo, con epsilon che rappresenta l'incertezza che si distribuisce secondo una normale standardizzata proporzionale alla volatilità del prezzo stesso ed alla radice del tempo, come visto in precedenza; il tutto sintetizza il moto browniano semplice (o aritmetico) che è la prima versione del modello introdotta da Bachelier, caratterizzato da:
- Componente deterministica costituita appunto da rendimento indipendente dal prezzo. Cioè il prezzo non aumenta di una percentuale del valore dell'asset, ad esempio 4%, ma da un valore fisso, ad esempio 4, che rimane tale sia che l'asset valga 10 sia che valga 100.
- Prezzi che possono scendere sotto lo zero.
Ripropongo l'immagine esemplificativa, dove A è la componente deterministica con in questo caso S0=0, B la componente stocastica e C la risultante. [l'immagine sopra è una generalizzazione non riferita prettamente ai prezzi azionari, non essendo possibile un prezzo iniziale = 0.] (cfr. PRIMA APPROSSIMAZIONE: MOTO BROWNIANO "SEMPLICE")
Il primo passo da considerare per ricavare il “modello geometrico dei prezzi” che quindi meno si allontana dalla realtà è quello di adeguare la componente deterministica ai presupposti di positività dei prezzi e di capitalizzazione composta.
La retta A diventa quindi una curva esponenziale. Qui non abbiamo più “m” costante dell'equazione del moto semplice, ma un rendimento K=m/S dove S è il prezzo dell'azione. In questo caso affinchè sia K a mantenersi costante, all'aumentare di S deve aumentare anche m, cioè più diventa grande S e maggiore deve essere il suo incremento.
Diventa chiaro dall'immagine sotto. Di volta in volta aggiungo prima il valore X% del prezzo iniziale S0, poi al risultato della somma S0+X%=Y aggiungo l'X% di Y, poi l'X% di Z=Y+X% ecc.
FIG.1
Se pongo un range temporale definito T e al tempo iniziale un prezzo S0 → al tempo finale in assenza di incertezze, per la capitalizzazione composta, avrò ST=S0*e^(K) (Esse con zero per “e” elevato ad K; possiamo comunque pensare anche ad un conto deposito con interessi a capitalizzazione continua; “e” in questo caso è l'esponenziale).
Da qui posso ricavare “K”, dividendo entrambi i membri per S0 ed applicando i logaritmi. Avrò K=ln(ST/S0) che è il tasso nominale di crescita dell'azione nel periodo T che per comodità possiamo considerare uguale all'unità, con prezzo iniziale S0 e prezzo finale ST. Il tasso effettivo → C= (e^K)-1 e quindi K=ln(1+C).
C è l'interesse K che viene composto di continuo nel tempo T, con C>K come logico.
Adesso all'elemento deterministico devo aggiungere quello stocastico, ferme restando le ipotesi delle caratteristiche del prezzo viste in precedenza: Markov, Martingala e contrattazione continua, senza salti di prezzo.
Dobbiamo quindi considerare il random walk seguito dal rendimento K che in realtà è soggetto all'incertezza, in quanto determinato appunto dal movimento del prezzo, quest'ultimo figlio delle contrattazioni a loro volta guidate dagli aggiustamenti nelle aspettative e nelle strategie dei trader.
Quello che dobbiamo fare è modellizzare questa incertezza come già visualizzata nel moto browniano semplice.
Partiamo individuando degli intervalli piccolissimi t nei quali suddividiamo il range temporale T all'interno del quale si compone il rendimento→ T= n*t (T è dato cioè dalla somma degli “n” t piccoli tutti uguali).
FIG.2
In ogni intervallo avremo un rapporto St(i)/St(i-1) [leggo: (Esse t con i) fratto (Esse t con i-1); con i che va da 1 a N] come di seguito esemplificato:
FIG.3
Il valore di ST/S0 è sempre positivo. Sarà maggiore di uno per rendimenti positivi, cioè con prezzo ST maggiore di S0; compreso tra zero e 1 per rendimenti negativi, cioè ST<S0.
St(i)/St(i-1)=(1+ci) quindi l'espressione in fig.3 è uguale a:
(1+c1)*(1+c2)*.......*(1+cN)
dove ci (c piccolo con i) è il rendimento in un intervallo t piccolo che si compone fino all'intervallo ennesimo. Infatti:
St(i)/St(i-1)=[(St(i) – St(i)-1)/(St(i)-1)] +1 → dove [(St(i) – St(i)-1)/(St(i)-1)] è il rendimento c. Il tasso c si compone una sola volta nell'intervallo t piccolo, ed è il rendimento effettivo c nell'intervallo t piccolo.
Logicamente più è piccolo l'intervallo t e quindi più sono le “n” parti uguali in cui si divide il periodo T grande e conseguentemente più piccolo sarà il rendimento “ci” atteso in quell'intervallo t, che ricordiamo è incerto. In altre parole più grande è l'intervallo maggiore può essere il percorso del prezzo e viceversa.
Abbiamo quindi il prodotto di elementi indipendenti. Il risultato finale è indipendente dai valori intermedi, come può vedersi dalle semplificazioni in croce della moltiplicazione nella figura3; S0 ed ST sono anch'essi indipendenti per l'efficienza debole di mercato.
Elementi indipendenti che si moltiplicano tra loro: questo mi riconduce al teorema del limite centrale moltiplicativo (Gibrat Law) che mi dice che il risultato dei prodotti dei vari 1+ci nei singoli intervalli infinitesimi t si distribuirà secondo una lognormale.
Questa lognormale rappresenta la distribuzione del prezzo di una azione con valore iniziale S0=1. Si può confrontare con il grafico della versione moltiplicativa della macchina di Galton. Si parte da S0=1 e si ha il 50% di possibilità di ritrovarsi a S0*(1+c), con c>1 ed S0*(1+c), con “c” compreso tra -1 e 0. Ripetendo N volte il procedimento avremo una distribuzione lognormale dei prezzi al tempo T grande.
Se ora applichiamo il logaritmo ad entrambi i membri della uguaglianza in fig. 3 avremo la seguente espressione:
FIG.4
La somma deriva dalla nota proprietà dei logaritmi:
ln(a*b)=ln(a)+ln(b)
Adesso abbiamo dunque la somma di quantità indipendenti che, dato il ventaglio di possibilità che potrebbe seguire il prezzo, sappiamo distribuirsi secondo la gaussiana in base al teorema del limite centrale (delle somme); cioè se facciamo più volte la somma dei logaritmi in figura4, i risultati di queste somme, che sono sempre diverse in quanto i logaritmi dei St(i)/St(i-1) negli intervalli t piccolo assumono valori ogni volta diversi, si distribuiranno secondo una normale. Possiamo continuare a tenere a mente le due versioni delle macchine di Galton introdotte nel post precedente per visualizzare le distribuzioni normale e lognormale.
Perciò:
- il prodotto dei vari (1+ci), con i che va da 1 a N, si distribuisce secondo una lognormale; e questa sarebbe la distribuzione di probabilità dei prezzi di una azione con prezzo iniziale 1.
Quindi: 1*(1+c1)*(1+c2)*.......*(1+cN)=S0*(1+Ci) , con S0=1 (Ci è dato dalla somma dei vari fattori contenenti “ci”, l'unita rimane tale, verificabile direttamente facendo il conto).
- la somma dei vari ln(1+ci), con i che va da 1 a N, si distribuisce secondo una normale; e questa sarebbe la distribuzione di probabilità del rendimento nominale di quella stessa azione.
Quindi: ln(1+c1)+ln(1+c2).......+ln(1+cN)= ln(1+Ci)
Questo rendimento che si compone continuamente nell'unità di tempo applicato al prezzo S0=1 dà come risultato al tempo T il prezzo ST=S0*e^ln(1+Ci)=S0*(1+Ci)
Più avanti avremo la visualizzazione grafica di quanto appena scritto.
Possiamo inoltre notare che in assenza di incertezza, cioè con tutti i rendimenti “ci” uguali tra di loro (ci=k) nei vari intervalli t piccolo (quest'ultimi scelti di grandezza infinitesima), abbiamo che il prodotto: (1+k)*(1+k)*.......*(1+k) diventa il limite di (1+K/n)^n con “n” che tende ad infinito. Questo perchè, come detto, considerato l'intervallo T in cui abbiamo un rendimento K nominale, i rendimenti k negli intervalli t=T/n saranno uguali a K/n.
Come visto la volta scorsa il limite di (1+K/n)^n con “n” che tende ad infinito non è altro che la definizione di esponenziale e quindi abbiamo: “e^K”, con K interesse nominale nel periodo di tempo T grande.
In mancanza di incertezza al tempo T grande avremo quindi probabilità 100% di avere ST= S0*e^K.
Gianni78bari
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Arrivati a questo punto bisogna introdurre due importante concetti:
PRIMO CONCETTO
FIG.5
Prendiamo un capitale di 10.000 euro che si compone con diversi rendimenti annui.
Dalla figura5 posso osservare che quando parliamo di rendimenti (returns) la media da utilizzare è sempre quella geometrica; la linea viola della media geometrica andrà a coincidere esattamente col punto finale di quella gialla dell'effettivo capitale composto nei dieci anni, pur con un percorso differente. Quindi il rendimento medio annuale che posso moltiplicare per 10 anni è quello geometrico che mi darà 16.940 euro e non quello aritmetico (linea blu).
La media aritmetica è sempre maggiore di quella geometrica, quest'ultima data dal prodotto dei singoli “n” elementi sotto radice ennesima.
La differenza tra media aritmetica e media geometrica aumenta all'aumentare della volatilità dei rendimenti e questa diminuzione della media geometrica rispetto alla aritmetica viene detta volatility drag.
Matematicamente si può dare una prima dimostrazione del fatto che l'aritmetica sia maggiore:
(x-y)^2>=0
ovvero
x^2+y^2-2xy>=0
se aggiungiamo 4xy ad entrambi i membri
x^2+y^2+2xy>=4xy
che diventa
(x+y)^2>=4xy
facendo la radice quadrata di entrambi i membri
x+y>=2*radice di xy → (x+y)/2>= radice di xy
cioè la media aritmetica dei 2 valori x e y è maggiore della media geometrica. L'uguaglianza si ha solo se x e y sono uguali.
Da un punto di vista finanziario media geometrica ed aritmetica si comportano come capitalizzazione composta e semplice.
Dati due investimenti identici, A (con interesse semplice) e B (con interesse composto), con gli stessi valori iniziali e tassi di interesse, è abbastanza intuitivo che il valore finale di B (con interesse composto) sarà maggiore di quello di A (con interesse semplice).
Ma se invece hanno effettivamente valori iniziali e finali identici, ne consegue che i loro tassi di interesse devono differire. Quindi il tasso di interesse di B dovrebbe essere inferiore al tasso di interesse di A.
In particolare si dimostra tramite le proprietà della lognormale, la legge dei grandi numeri e le serie di Taylor che media geometrica ed aritmetica differiscono di una quantità direttamente proporzionale alla volatilità (deviazione standard) dei rendimenti dei singoli periodi presi in considerazione per farne la media.
Per la precisione abbiamo:
media geometrica=media aritmetica-(dev.std^2/2).
Media geometrica e media aritmetica coincidono solo se la volatilità è nulla.
SECONDO CONCETTO:
Definiamo più o meno formalmente il “valore atteso” di una distribuzione e poi facciamo degli esempi .
Il valore atteso è definito come segue: supponiamo di avere una variabile casuale Y. Supponiamo che i possibili valori di Y siano v₁, v₂, … vn. Sia p₁ la probabilità che Y = v₁, p₂ sia la probabilità che Y = v₂, ecc. Il valore atteso di Y, indicato con E(Y), è definito come v₁p₁ + v₂p₂ + … + vnpn e rappresenta il centro (la media) della distribuzione della variabile Y. In quanto tale, rappresenta il valore che ci si aspetterebbe che Y assumesse, da cui il nome "valore atteso", dopo un numero sufficientemente ampio di eventi (possiamo immaginare una distribuzione di rendimenti di una strategia di trading e gli eventi come i singoli trade messi a mercato).
Esempio: quando si scommette su rosso o nero alla roulette per ogni 100 euro scommessi si vincono 200. Il punto è che essendoci lo 0 nella roulette, la probabilità non è esattamente 50 e 50 ma 48,65% e 51,35% e quindi dalla formula esposta sopra il valore atteso sarebbe:
100 * 0.4865 + -100 * 0.5135 = -$2.70, cioè a lungo andare l'aspettativa è di rimetterci anche se inizialmente si vince.
I casinò impostano deliberatamente i loro giochi in modo che abbiano un valore atteso negativo. Sanno che finché il valore atteso è negativo e un numero sufficiente di persone gioca, allora guadagneranno soldi.
E' lo stesso concetto che si potrebbe applicare ad esempio ai broker cfd.
Ponendo che con la sola analisi tecnica ci sia una probabilità 50 e 50 di azzeccare la direzione, posto anche che le tecniche di entrata ed uscita dal trade basate sempre sulla semplice osservazione del prezzo fino a quel momento fanno sì che la perdita evitata si compensi con il mancato guadagno, il valore atteso del capitale nel lungo periodo determinerà un rendimento certamente negativo considerando gli spread o le commissioni. Ci può essere chi inizialmente guadagna ma per la legge dei grandi numeri immancabilmente il valore del rendimento convergerà ad un numero negativo.
L'unico motivo per il quale ha senso entrare in un “gioco” con valore atteso negativo è nel caso in cui si abbia già aperta una “scommessa” in un altro “gioco” negativamente correlato con questo e che abbia un valore atteso positivo e più alto in termini assoluti.
In altri termini parliamo delle assicurazioni contro eventi remoti. Es. contro un incendio devastante di una attività produttiva. L'incendio ha poche probabilità di verificarsi e il pagamento del premio assicurativo ha comunque un valore atteso a lungo andare minore rispetto al reddito prodotto dall'attività.
Detto questo, la formula di K=ln(ST/S0) in assenza di incertezza rappresenta la somma dei logaritmi dei singoli fattori (1+ci) negli intervalli infinitesimi t con ci tutti uguali a k=K/N; basta sostituire a ln(ST/S0) le somme nel membro a destra dell'uguaglianza di figura 4. In particolare, in presenza invece di incertezza, K è la media aritmetica degli N diversi percorsi che può prendere il prezzo cioè:
rappresenta il valore atteso della distribuzione normale del rendimento nominale K.
La sommatoria dei ln(1+ci) con i che va da 1 a "n" è uguale ln[(1+c1)*(1+c2).....*(1+cn)] → ln(1+Ci) cioè rappresenta uno dei possibili valori di K nella distribuzione di probabilità.
Sempre per definizione so anche che se considero dei valori (x1,x2,x3,x4,x5,x6...xn), la loro media geometrica è uguale all'esponenziale della media aritmetica dei logaritmi di quegli stessi valori. Sembra uno scioglilingua ma significa che questo:
è uguale a questo:
E' facile verificarlo direttamente applicando le proprietà dei logaritmi:
e^{[ln(1+C1)+ln(1+C2)+ln(1+C3)...ln(1+CN)]/N} →
e^{[ln(1+C1)*(1+C2) ....(1+CN)]/N}→
e^{[ln di radice ennesima di[(1+C1)*(1+C2) ....(1+CN)]} →
radice ennesima di [(1+C1)*(1+C2) ....(1+CN)]
Quest'ultima per definizione è la media geometrica di (1+Ci) con i che va da 1 a N.
Cioè (1+Ci) è uno dei percorsi che può prendere il prezzo di una azione con prezzo iniziale uguale ad 1. Come visto la distribuzione di probabilità di questi percorsi è una lognormale.
Quindi:
e^K= media geometrica di (1+Ci) con i che va da 1 a n.
Poichè so che media geometrica=media aritmetica-[(sigma^2)/2], con sigma=volatilità, sapendo anche che e^K= media geometrica di (1+Ci), allora posso scrivere che:
e^{K+[(sigma^2)/2]} = media aritmetica dei rendimenti (1+Ci) nell'intervallo T (questa conclusione è supportata anche dalle relazioni tra le medie di una distribuzione logaritmica, quale è quella di (1+Ci) come ricavato sopra. In particolare - media geometrica di una distribuzione logaritmica = e^x [il nostro e^K]
- media aritmetica = e^(x+sigma quadro/2) → cioè il nostro e^K+[(sigma quadro/2)]
Ora pongo [media aritmetica di (1+Ci)]=a ed ho
e^{K+[(sigma^2)/2]}=a
applico il logaritmo ad entrambi i membri ed ottengo:
K=ln(a)-[(sigma^2)/2]
Sostituisco infine “u” al ln(a) ed ho l'espressione finale: K=u-[(sigma^2)/2].
K, come visto inizialmente, è la media aritmetica dei rendimenti nominali: ln(1+Ci) ovvero dei rendimenti nominali pesati per la probabilità che si verifichino.
Se non vi è incertezza K è uguale ad u.
Per ottenere l'espressione che tenga formalmente conto dell'incertezza, aggiungo ad “u-[(sigma^2)/2]” la parte stocastica (epsilon*v*radice di T) e sostituisco nella nostra espressione di partenza ST=S0*e^(KT) ottenendo:
dove sigma*Wt=(epsilon*sigma*radice di T). Wt è una distribuzione normale ed il fatto che si trovi all'esponente fa sì che i risultati finali delle varie simulazioni si dispongano secondo una distribuzione lognormale.
PRIMO CONCETTO
FIG.5
Prendiamo un capitale di 10.000 euro che si compone con diversi rendimenti annui.
Dalla figura5 posso osservare che quando parliamo di rendimenti (returns) la media da utilizzare è sempre quella geometrica; la linea viola della media geometrica andrà a coincidere esattamente col punto finale di quella gialla dell'effettivo capitale composto nei dieci anni, pur con un percorso differente. Quindi il rendimento medio annuale che posso moltiplicare per 10 anni è quello geometrico che mi darà 16.940 euro e non quello aritmetico (linea blu).
La media aritmetica è sempre maggiore di quella geometrica, quest'ultima data dal prodotto dei singoli “n” elementi sotto radice ennesima.
La differenza tra media aritmetica e media geometrica aumenta all'aumentare della volatilità dei rendimenti e questa diminuzione della media geometrica rispetto alla aritmetica viene detta volatility drag.
Matematicamente si può dare una prima dimostrazione del fatto che l'aritmetica sia maggiore:
(x-y)^2>=0
ovvero
x^2+y^2-2xy>=0
se aggiungiamo 4xy ad entrambi i membri
x^2+y^2+2xy>=4xy
che diventa
(x+y)^2>=4xy
facendo la radice quadrata di entrambi i membri
x+y>=2*radice di xy → (x+y)/2>= radice di xy
cioè la media aritmetica dei 2 valori x e y è maggiore della media geometrica. L'uguaglianza si ha solo se x e y sono uguali.
Da un punto di vista finanziario media geometrica ed aritmetica si comportano come capitalizzazione composta e semplice.
Dati due investimenti identici, A (con interesse semplice) e B (con interesse composto), con gli stessi valori iniziali e tassi di interesse, è abbastanza intuitivo che il valore finale di B (con interesse composto) sarà maggiore di quello di A (con interesse semplice).
Ma se invece hanno effettivamente valori iniziali e finali identici, ne consegue che i loro tassi di interesse devono differire. Quindi il tasso di interesse di B dovrebbe essere inferiore al tasso di interesse di A.
In particolare si dimostra tramite le proprietà della lognormale, la legge dei grandi numeri e le serie di Taylor che media geometrica ed aritmetica differiscono di una quantità direttamente proporzionale alla volatilità (deviazione standard) dei rendimenti dei singoli periodi presi in considerazione per farne la media.
Per la precisione abbiamo:
media geometrica=media aritmetica-(dev.std^2/2).
Media geometrica e media aritmetica coincidono solo se la volatilità è nulla.
SECONDO CONCETTO:
Definiamo più o meno formalmente il “valore atteso” di una distribuzione e poi facciamo degli esempi .
Il valore atteso è definito come segue: supponiamo di avere una variabile casuale Y. Supponiamo che i possibili valori di Y siano v₁, v₂, … vn. Sia p₁ la probabilità che Y = v₁, p₂ sia la probabilità che Y = v₂, ecc. Il valore atteso di Y, indicato con E(Y), è definito come v₁p₁ + v₂p₂ + … + vnpn e rappresenta il centro (la media) della distribuzione della variabile Y. In quanto tale, rappresenta il valore che ci si aspetterebbe che Y assumesse, da cui il nome "valore atteso", dopo un numero sufficientemente ampio di eventi (possiamo immaginare una distribuzione di rendimenti di una strategia di trading e gli eventi come i singoli trade messi a mercato).
Esempio: quando si scommette su rosso o nero alla roulette per ogni 100 euro scommessi si vincono 200. Il punto è che essendoci lo 0 nella roulette, la probabilità non è esattamente 50 e 50 ma 48,65% e 51,35% e quindi dalla formula esposta sopra il valore atteso sarebbe:
100 * 0.4865 + -100 * 0.5135 = -$2.70, cioè a lungo andare l'aspettativa è di rimetterci anche se inizialmente si vince.
I casinò impostano deliberatamente i loro giochi in modo che abbiano un valore atteso negativo. Sanno che finché il valore atteso è negativo e un numero sufficiente di persone gioca, allora guadagneranno soldi.
E' lo stesso concetto che si potrebbe applicare ad esempio ai broker cfd.
Ponendo che con la sola analisi tecnica ci sia una probabilità 50 e 50 di azzeccare la direzione, posto anche che le tecniche di entrata ed uscita dal trade basate sempre sulla semplice osservazione del prezzo fino a quel momento fanno sì che la perdita evitata si compensi con il mancato guadagno, il valore atteso del capitale nel lungo periodo determinerà un rendimento certamente negativo considerando gli spread o le commissioni. Ci può essere chi inizialmente guadagna ma per la legge dei grandi numeri immancabilmente il valore del rendimento convergerà ad un numero negativo.
L'unico motivo per il quale ha senso entrare in un “gioco” con valore atteso negativo è nel caso in cui si abbia già aperta una “scommessa” in un altro “gioco” negativamente correlato con questo e che abbia un valore atteso positivo e più alto in termini assoluti.
In altri termini parliamo delle assicurazioni contro eventi remoti. Es. contro un incendio devastante di una attività produttiva. L'incendio ha poche probabilità di verificarsi e il pagamento del premio assicurativo ha comunque un valore atteso a lungo andare minore rispetto al reddito prodotto dall'attività.
Detto questo, la formula di K=ln(ST/S0) in assenza di incertezza rappresenta la somma dei logaritmi dei singoli fattori (1+ci) negli intervalli infinitesimi t con ci tutti uguali a k=K/N; basta sostituire a ln(ST/S0) le somme nel membro a destra dell'uguaglianza di figura 4. In particolare, in presenza invece di incertezza, K è la media aritmetica degli N diversi percorsi che può prendere il prezzo cioè:
rappresenta il valore atteso della distribuzione normale del rendimento nominale K.
La sommatoria dei ln(1+ci) con i che va da 1 a "n" è uguale ln[(1+c1)*(1+c2).....*(1+cn)] → ln(1+Ci) cioè rappresenta uno dei possibili valori di K nella distribuzione di probabilità.
Sempre per definizione so anche che se considero dei valori (x1,x2,x3,x4,x5,x6...xn), la loro media geometrica è uguale all'esponenziale della media aritmetica dei logaritmi di quegli stessi valori. Sembra uno scioglilingua ma significa che questo:
è uguale a questo:
E' facile verificarlo direttamente applicando le proprietà dei logaritmi:
e^{[ln(1+C1)+ln(1+C2)+ln(1+C3)...ln(1+CN)]/N} →
e^{[ln(1+C1)*(1+C2) ....(1+CN)]/N}→
e^{[ln di radice ennesima di[(1+C1)*(1+C2) ....(1+CN)]} →
radice ennesima di [(1+C1)*(1+C2) ....(1+CN)]
Quest'ultima per definizione è la media geometrica di (1+Ci) con i che va da 1 a N.
Cioè (1+Ci) è uno dei percorsi che può prendere il prezzo di una azione con prezzo iniziale uguale ad 1. Come visto la distribuzione di probabilità di questi percorsi è una lognormale.
Quindi:
e^K= media geometrica di (1+Ci) con i che va da 1 a n.
Poichè so che media geometrica=media aritmetica-[(sigma^2)/2], con sigma=volatilità, sapendo anche che e^K= media geometrica di (1+Ci), allora posso scrivere che:
e^{K+[(sigma^2)/2]} = media aritmetica dei rendimenti (1+Ci) nell'intervallo T (questa conclusione è supportata anche dalle relazioni tra le medie di una distribuzione logaritmica, quale è quella di (1+Ci) come ricavato sopra. In particolare - media geometrica di una distribuzione logaritmica = e^x [il nostro e^K]
- media aritmetica = e^(x+sigma quadro/2) → cioè il nostro e^K+[(sigma quadro/2)]
Ora pongo [media aritmetica di (1+Ci)]=a ed ho
e^{K+[(sigma^2)/2]}=a
applico il logaritmo ad entrambi i membri ed ottengo:
K=ln(a)-[(sigma^2)/2]
Sostituisco infine “u” al ln(a) ed ho l'espressione finale: K=u-[(sigma^2)/2].
K, come visto inizialmente, è la media aritmetica dei rendimenti nominali: ln(1+Ci) ovvero dei rendimenti nominali pesati per la probabilità che si verifichino.
Se non vi è incertezza K è uguale ad u.
Per ottenere l'espressione che tenga formalmente conto dell'incertezza, aggiungo ad “u-[(sigma^2)/2]” la parte stocastica (epsilon*v*radice di T) e sostituisco nella nostra espressione di partenza ST=S0*e^(KT) ottenendo:
dove sigma*Wt=(epsilon*sigma*radice di T). Wt è una distribuzione normale ed il fatto che si trovi all'esponente fa sì che i risultati finali delle varie simulazioni si dispongano secondo una distribuzione lognormale.
Gianni78bari
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Possiamo ora applicare il metodo montecarlo al modello di prezzo ricavato per il moto geometrico ed otteniamo tanti possibili percorsi che si distribuiscono come nell'immagine sotto (cfr. PRIMA APPROSSIMAZIONE: MOTO BROWNIANO "SEMPLICE" per la relativa spiegazione).
FIG.6
Si può ora visualizzare il passaggio dal moto semplice a quello geometrico
FIG. 7
Facciamo infine delle considerazioni partendo dall'immagine seguente:
FIG. 8
Vediamo come la distribuzione normale dei rendimenti con media (cioè valore atteso) “u-sigma quadro/2” si trasformi attraverso l'applicazione esponenziale (cioè componendo i rendimenti di una azione con prezzo iniziale S0=1 nel range temporale T) in una distribuzione lognormale la cui mediana è “e^u-sigma quadro/2” mentre il valore atteso di quest'ultima è “e^u”.
L'interpretazione è che all'aumentare della volatilità il valore atteso della distribuzione di probabilità dei prezzi rimane uguale, cioè a lungo andare in media si attende un prezzo uguale ad S0*e^u, ma la mediana diverrà più piccola il che significa che per la metà del tempo il prezzo stazionerà su valori più bassi rispetto a quelli che si avrebbero con volatilità bassa.
Questo perchè, mentre per una distribuzione normale i valori a destra e a sinistra equidistanti dalla mediana hanno le stesse probabilità di verificarsi, in una lognormale i valori con le stesse probabilità sono a distanze una il doppio dell'altra.
Facciamo un esempio pratico con una long put ATM sullo SPY a 437 scadenza 1/7/2022:
FIG.9
La probabilità che la put finisca in the money è di circa il 54% e non fifty fifty come ci si potrebbe aspettare. Se aumento la volatilità del 20% la probabilità di finire ITM aumenta di 2 punti percentuali:
FIG.10
Data l'equivalenza volatilità-tempo la stessa cosa succederà giocando con le scadenze.
Il tutto in coerenza con il comportamento cosiddetto normale del mercato: un aumento di volatilità si correla ad una discesa degli indici.
Cosa non sempre vera in generale ed alla quale volendo si potrebbe dare anche una interpretazione intuitiva ed una economica:
1) maggiore volatilità → maggiore incertezza → vendita asset rischio → discesa dei prezzi
2) i prezzi attuali scontano i valori futuri sulla base dei rendimenti attesi che a causa dell'incertezza (rischio) devono essere più elevati e di conseguenza avremo prezzi attuali minori.
Utilizzo la stessa chiosa del post precedente:
Posta l'ipotesi di non arbitraggio, BS non fa altro che definire il modo in cui deve essere effettuato il delta hedging.
Alla fine il suo compito è questo e, data una certa volatilità, il delta dipende da come si ipotizza sia la distribuzione di probabilità del sottostante.
Una distribuzione dei prezzi normale, di poisson, di weibull e così via determinerebbe tutt'altri risultati nel prezzare l'opzione.
FIG.6
Si può ora visualizzare il passaggio dal moto semplice a quello geometrico
FIG. 7
Facciamo infine delle considerazioni partendo dall'immagine seguente:
FIG. 8
Vediamo come la distribuzione normale dei rendimenti con media (cioè valore atteso) “u-sigma quadro/2” si trasformi attraverso l'applicazione esponenziale (cioè componendo i rendimenti di una azione con prezzo iniziale S0=1 nel range temporale T) in una distribuzione lognormale la cui mediana è “e^u-sigma quadro/2” mentre il valore atteso di quest'ultima è “e^u”.
L'interpretazione è che all'aumentare della volatilità il valore atteso della distribuzione di probabilità dei prezzi rimane uguale, cioè a lungo andare in media si attende un prezzo uguale ad S0*e^u, ma la mediana diverrà più piccola il che significa che per la metà del tempo il prezzo stazionerà su valori più bassi rispetto a quelli che si avrebbero con volatilità bassa.
Questo perchè, mentre per una distribuzione normale i valori a destra e a sinistra equidistanti dalla mediana hanno le stesse probabilità di verificarsi, in una lognormale i valori con le stesse probabilità sono a distanze una il doppio dell'altra.
Facciamo un esempio pratico con una long put ATM sullo SPY a 437 scadenza 1/7/2022:
FIG.9
La probabilità che la put finisca in the money è di circa il 54% e non fifty fifty come ci si potrebbe aspettare. Se aumento la volatilità del 20% la probabilità di finire ITM aumenta di 2 punti percentuali:
FIG.10
Data l'equivalenza volatilità-tempo la stessa cosa succederà giocando con le scadenze.
Il tutto in coerenza con il comportamento cosiddetto normale del mercato: un aumento di volatilità si correla ad una discesa degli indici.
Cosa non sempre vera in generale ed alla quale volendo si potrebbe dare anche una interpretazione intuitiva ed una economica:
1) maggiore volatilità → maggiore incertezza → vendita asset rischio → discesa dei prezzi
2) i prezzi attuali scontano i valori futuri sulla base dei rendimenti attesi che a causa dell'incertezza (rischio) devono essere più elevati e di conseguenza avremo prezzi attuali minori.
Utilizzo la stessa chiosa del post precedente:
Posta l'ipotesi di non arbitraggio, BS non fa altro che definire il modo in cui deve essere effettuato il delta hedging.
Alla fine il suo compito è questo e, data una certa volatilità, il delta dipende da come si ipotizza sia la distribuzione di probabilità del sottostante.
Una distribuzione dei prezzi normale, di poisson, di weibull e così via determinerebbe tutt'altri risultati nel prezzare l'opzione.