Domanda semplice, forse banale

[lucrezio]

Come calcolo il valore atteso di questa situazione:
1) C'è un gioco che mi da 3 volte la posta giocata se esce Croce
2) La moneta è truccata in modo tale che la probabilità che esca Testa è il 70%, mentre quella che esca Croce è il 30%.
3) Punto un 1 euro su Croce. Se vinco ripeto la giocata, se perdo punto 2,1 euro su Croce. Se vinco riparto da 1€, altrimenti punto 3,2€.
4) Dopo il terzo rilancio che vinca o che perda reinizio a puntare da 1 euro.

Qual è il valore atteso di questa scommessa?

 

[SnakePlinsky]

Come calcolo il valore atteso di questa situazione:
1) C'è un gioco che mi da 3 volte la posta giocata se esce Croce
2) La moneta è truccata in modo tale che la probabilità che esca Testa è il 70%, mentre quella che esca Croce è il 30%.
3) Punto un 1 euro su Croce. Se vinco ripeto la giocata, se perdo punto 2,1 euro su Croce. Se vinco riparto da 1€, altrimenti punto 3,2€.
4) Dopo il terzo rilancio che vinca o che perda reinizio a puntare da 1 euro.

Qual è il valore atteso di questa scommessa?

valore atteso 1 giocata = -0.1 (= 0.3*2 + 0.7*-1)
valore atteso strategia = - infinito (= -0.1 * infiniti trials)

La puntata incrementale non é una martingala per cui ti impedisce il recupero delle giocate precedenti nel caso tu giocassi infiniti round con capitale infinito. Per aver eun martingala dovresti aumentare la posta in termini moltiplicativi, non additivo ( nuova puntata = puntata precedente * numero adeguatamente maggiore di 1).
Il punto 4 impedisce ogni martingala anyway

 

[lucrezio]

valore atteso 1 giocata = -0.1 (= 0.3*2 + 0.7*-1)
valore atteso strategia = - infinito (= -0.1 * infiniti trials)

La puntata incrementale non é una martingala per cui ti impedisce il recupero delle giocate precedenti nel caso tu giocassi infiniti round con capitale infinito. Per aver eun martingala dovresti aumentare la posta in termini moltiplicativi, non additivo ( nuova puntata = puntata precedente * numero adeguatamente maggiore di 1).
Il punto 4 impedisce ogni martingala anyway

Sul valore atteso di 1 giocata sono d'accordo.
Non sono convinto sul valore atteso della strategia.

Anche se intuitivamente sono d'accordo che su infiniti lanci il mio valore atteso tenda -infinito, dato che il gioco non è equo.

Sto provando a simulare con excel (forse lo strumento non è adatto alle simulazioni) e non mi ritrovo con il risultato teorico.

 

[lucrezio]

Ad esempio adesso sto provando a fare una simulazione di questo genere:
1) 1000 lanci di moneta equilibrata (prob. Testa 50% e Croce 50%).
2) Max 5 rilanci
3) Progressioni da testare: 1-2-4-8-16 e 1-3-9-27-81

Il mio valore atteso su una giocata è 0.
Ma su 1000 lanci di moneta ripetuti 1000 volte cosa succede (dato che non posso giocare infinite volte)?

 

[GioITA]

non ho capito se il reset della posta avviene dopo la 3a puntata per tutti i lanci successivi o se si ripete ogni 3 puntate..

t > 3 o 3t+1 ??

 

[lucrezio]

non ho capito se il reset della posta avviene dopo la 3a puntata per tutti i lanci successivi o se si ripete ogni 3 puntate..

t > 3 o 3t+1 ??

Il reset avviene dopo 3 rilanci.

Mi spiego meglio:
1) Punti 1 euro.
2) Se vinci punti 1 euro.
3) Se perdi punti 2,1 euro. Se vinci punti 1 euro, altrimenti punti 3,2 euro.
4) Dopo aver puntato 3,2 euro. Se vinci punti 1 euro, se perdi punti 1 euro: praticamente riparti dal punto 1).

 

[lucrezio]

La mia sensazione è che sia un problema di ottimizzazione.

Ottimizzando alcuni parametri quali la progressione delle puntate e il numero di rilanci su una serie finita di lanci (ad esempio 1000 serie di 1000 lanci) aumenta sia la probabilità di vincita sia l'entità della vincita su ogni serie da 1000 lanci.

Però in teoria se un gioco non è equo dovrei perdere.
Probabilmente il concetto di valore atteso vale solo se i lanci tendono ad infinito.

 

[GioITA]

si io ho simulato 10 scenari in 300 lanci l'outcome è sempre negativo,

concordo con snake il tuo processo è una supermartingala . ciaps

 

[lucrezio]

si io ho simulato 10 scenari in 300 lanci l'outcome è sempre negativo,

concordo con snake il tuo processo è una supermartingala . ciaps

Ok, grazie.

Quindi probabilmente sbaglio qualcosa io nella simulazione

P.s: succede lo stesso se allunghi la serie di rilanci?

 

[SnakePlinsky]

Ciao Lucrezio, mi ripeto: in termini additivi non puoi cambiare il valore atteso, lo puoi fare solo moltiplicando la posta che cresce quindi in potenza del numero che hai scelto

Riguardo al caso scolatico con 50/50 prob vincite perdit e payoff 1/1, valore atteso ogni lancio é 0, MA con una martingala ovvero moltiplicando la puntata precedente finché non si vince per 2, hai un valore atteso ad ogni lancio positive = 0.5, conn una posta in gioco che cresce 2^numero di lanci perdenti. Se invece di moltiplicare la posta per 2, la moltiplichi per un numero + grande, il valore atteso della strategia cresce + velocemente, se < 2 é negative. 2 e il numero spartiacque.

Nel caso del tuo gioco, ignorando il punto 4 (ovvero ripartire da 1) dovresti moltiplicare ogni puntata precedente per almeno 2.166666....6 ( 6 periodico). Questo é il numero spartiacque. sotto qst numero la strategia é perdente, >= vincente.

Puoi fare una simulazione semplice su excel per verificare quello che ti dico, non ci metti + di 10 minuti

 

[GioITA]

si 1000 simulazioni in 10 scenari l'outcome è sempre più negativo!
per la simulazione ho utilizzato delle bernulliane con p=0.3 per la vincita.

però se ti fai un mini albero binomiale del primi 3 lanci vedi già ad occhio che c'è un drift negativo

 

[lucrezio]

Ciao Lucrezio, mi ripeto: in termini additivi non puoi cambiare il valore atteso, lo puoi fare solo moltiplicando la posta che cresce quindi in potenza del numero che hai scelto

Riguardo al caso scolatico con 50/50 prob vincite perdit e payoff 1/1, valore atteso ogni lancio é 0, MA con una martingala ovvero moltiplicando la puntata precedente finché non si vince per 2, hai un valore atteso ad ogni lancio positive = 0.5, conn una posta in gioco che cresce 2^numero di lanci perdenti. Se invece di moltiplicare la posta per 2, la moltiplichi per un numero + grande, il valore atteso della strategia cresce + velocemente, se < 2 é negative. 2 e il numero spartiacque.

Nel caso del tuo gioco, ignorando il punto 4 (ovvero ripartire da 1) dovresti moltiplicare ogni puntata precedente per almeno 2.166666....6 ( 6 periodico). Questo é il numero spartiacque. sotto qst numero la strategia é perdente, >= vincente.

Puoi fare una simulazione semplice su excel per verificare quello che ti dico, non ci metti + di 10 minuti

Grazie per la risposta
Come calcoli il numero spartiacque?

 

[lucrezio]

si 1000 simulazioni in 10 scenari l'outcome è sempre più negativo!
per la simulazione ho utilizzato delle bernulliane con p=0.3 per la vincita.

però se ti fai un mini albero binomiale del primi 3 lanci vedi già ad occhio che c'è un drift negativo

Scusa mi sono espresso male.
Volevo dire se allunghi la serie di rilanci fino a 7 rilanci (ho messo 7 arbitrariamente ma potrebbe essere anche 10 o 15 o altro), cosa succede?

Una seria del genere che risultati dà?
1- 2,1 - 3,2 - 5,5 - 8,8 - 14,7 - 24

 

[SnakePlinsky]

Grazie per la risposta
Come calcoli il numero spartiacque?

io che sono ignorante tramite ottimizzazione numerica, ma sono sicuro che esiste una formula chiusa che qlc con preparazione matematica sul tema ci puo fornire

Per fare simulazioni si puo fare in modo semplice senza alberi binomiali o montecarlo, bast aggiungere una Colonna in excel con le perdite cumulate in caso di perdita ad ogni singolo round. in un altra metti la posta incrementata ad ogni round. Se la vincita al next round é maggiore che la perdita cumulate sai k la martingala funziona. Tutto qui

 

[SnakePlinsky]

Scusa mi sono espresso male.
Volevo dire se allunghi la serie di rilanci fino a 7 rilanci (ho messo 7 arbitrariamente ma potrebbe essere anche 10 o 15 o altro), cosa succede?

Una seria del genere che risultati dà?
1- 2,1 - 3,2 - 5,5 - 8,8 - 14,7 - 24

Nulla sempre negative, per portare la stratgia ad essere vincente, ovvero una martingala, devi essere in grado di portare gli incrementi all'infinito. E qui la questione diventa filosofica, perché andando in campo infinitesimal, puoi incontrare una serie ininterrotta di croci infinite. All'infinito tutto é possibile

 

[SnakePlinsky]

Questo é il paradosso della martingala, é una strategia teoricamente infallibile, ma praticamente impossibile perché si va ad utilizzare un capitale infinito. LA lezione della martingala é appunto che non é possibile alterare il valore atteso di una strategia d'azzardo in funzione del sizing dei bets.