Non so se sarei stato ammesso a quella scuola indiana.

[Parnas]

Altrimenti secondo me non ha senso considerare l'infinito per una equazione .... Nel senso che cambiamo campo e passiamo all'analisi....

Sì certo, ∞ non sarebbe comunque una soluzione.
Era per dire che la funzione f(x)=4^x + 6^x -9^x non tende a zero per x che tende a infinito.

 

[Berlin76]

Sì certo, ∞ non sarebbe comunque una soluzione.
Era per dire che la funzione f(x)=4^x + 6^x -9^x non tende a zero per x che tende a infinito.

Siamo sicuri?
4^∞, 6^∞ e 9^∞ danni tutti come risultato ∞. Si tratta di capire se si tratta di infiniti dello stesso ordine di grandezza o no.
Se stessimo parlando dell'infinito dei numeri naturali, allora infinito sarebbe sicuramente una soluzione perché ∞ + ∞ = ∞
Il mio unico dubbio deriva dal fatto che 2^∞ rappresenta la dimensione dell'infinito dei numeri reali, che è superiore a quello dei numeri naturali, e sinceramente non so se l'infinito dei numeri reali si comporta nello stesso modo dell'infinito dei numeri naturali.

Questo solo per +∞, per -∞ dovrebbero dare tutti 0…

Auf Wiedersehen

 

[oceanic815]

Sì certo, ∞ non sarebbe comunque una soluzione.
Era per dire che la funzione f(x)=4^x + 6^x -9^x non tende a zero per x che tende a infinito.

Ma sai che non riesco a calcolarlo ? Non mi ricordo più una mazza

A meno inf dovrebbe fare 0+ con asse x asintoto. Ma a +inf ho forma di indecisione e non so risolverla

Passa per (0;1) e a naso dovrebbe andar su ma non capisco perché ....

 

[Parnas]

Siamo sicuri?

Sì, sono sicuro.
Vedi la funzione come il prodotto di due parti, f(x) = 9^X e g(x) = (4/9)^x + (2/3)^x - 1 (in pratica ho messo a fattor comune 9^X).
Per x --> ∞: g(x) --> -1, f(x) --> ∞ .
Quindi è chiaro che il prodotto dei due tende a infinito, non a zero.

4^∞, 6^∞ e 9^∞ danni tutti come risultato ∞. Si tratta di capire se si tratta di infiniti dello stesso ordine di grandezza o no.
Se stessimo parlando dell'infinito dei numeri naturali, allora infinito sarebbe sicuramente una soluzione perché ∞ + ∞ = ∞, quindi ∞ + ∞ - ∞ = 0

Infinito - infinito non fa zero, non sono due numeri.
Per fare un esempio, 2X e X sono entrambi infiniti per X -> ∞ , ma è evidente che (2X - X) non tende a zero, è anch'esso infinito.

 

[Berlin76]

Infinito - infinito non fa zero, non sono due numeri.
Per fare un esempio, 2X e X sono entrambi infiniti per X -> ∞ , ma è evidente che (2X - X) non tende a zero, è anch'esso infinito.

Non sono mica convinto di questa affermazione.
2 x ∞ e ∞ sono la stessa quantità, in altre parole 2 x ∞ = ∞, per lo stesso identico motivo per cui i numeri pari sono esattamente uguali a tutti i numeri naturali, così come i dispari sono pari a tutti i numeri naturali, e i numeri interi (cioè compresi i negativi) sono esattamente la stessa quantità dei numeri naturali: non sono affatto di più, sono sempre ∞.

Siamo almeno d'accordo che 4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞ ?
Auf Wiedersehen

 

[oceanic815]

Non sono mica convinto di questa affermazione.
2 x ∞ e ∞ sono la stessa quantità, in altre parole 2 x ∞ = ∞, per lo stesso identico motivo per cui i numeri pari sono esattamente uguali a tutti i numeri naturali, così come i dispari sono pari a tutti i numeri naturali, e i numeri interi (cioè compresi i negativi) sono esattamente la stessa quantità dei numeri naturali: non sono affatto di più, sono sempre ∞.
Auf Wiedersehen

Infinito - Infinito é una forma di indecisione . Una delle sette e questa è vera,fidati .

Risolvibile nella maggior parte dei casi con un semplice raccoglimento a fattor comune .

Esempio

x^2 - x da l'indecisione ,in un intorno di +inf .

Ma basta scriverla così

x^2•(1 - 1/x) e allora avrai la parentesi che tende a 1 da moltiplicare per il +inf della x^2.

Risultato +inf

Lo stesso al tendere di -inf ma ê più semplice cambiando di segno la x di grado 1 ed essendo al quadrato l'altra

 

[Berlin76]

Infinito - Infinito é una forma di indecisione . Una delle sette e questa è vera,fidati .

Risolvibile nella maggior parte dei casi con un semplice raccoglimento a fattor comune .

Esempio

x^2 - x da l'indecisione ,in un intorno di +inf .

Ma basta scriverla così

x^2•(1 - 1/x) e allora avrai la parentesi che tende a 1 da moltiplicare per il +inf della x^2.

Risultato +inf

Lo stesso al tendere di -inf ma ê più semplice cambiando di segno la x di grado 1

Mi sono espresso male io, lasciamo stare la sottrazione perché bisognerebbe capire cosa viene sottratto. L'equazione originale era:
4^x + 6^x = 9^x

Siamo almeno d'accordo che 4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞ ?
Con la potenza cambia qualcosa?
Auf Wiedersehen

 

[oceanic815]

Mi sono espresso male io, lasciamo stare la sottrazione. L'equazione originale era:
4^x + 6^x = 9^x

Siamo almeno d'accordo che 4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞ ?
Con la potenza cambia qualcosa?
Auf Wiedersehen

Quella é un'equazione non una funzione. Non ha senso il calcolo che vuoi fare .

A meno che tu non voglia passarlo al limite +/- inf (il segno ce lo devi mettere,si parla di intorni). Ma ciò significa studiare il comportamento di una funzione negli intorni suddetti. Che ha tutto un altro senso (potrebbe essere il campo di esistenza per esempio...)

Comunque,fosse un limite

Per x che tende a + inf il risultato dovrebbe essere -inf

Raccogli 9^x ed ottieni

9^x[(2/3)^2x + (2/3)^x -1]

Passando al limite avrai dentro la parentesi 0 + 0 -1

Fuori parentesi + inf

Il prodotto fa -inf

 

[Berlin76]

Quella é un'equazione non una funzione. Non ha senso il calcolo che vuoi fare .

A meno che tu non voglia passarlo al limite +/- inf (il segno ce lo devi mettere,si parla di intorni). Ma ciò significa studiare il comportamento di una funzione negli intorni suddetti. Che ha tutto un altro senso (potrebbe essere il campo di esistenza per esempio...)

Comunque,fosse un limite

Per x che tende a + inf il risultato dovrebbe essere -inf

Raccogli 9^x ed ottieni

9^x[(2/3)^2x + (2/3)^x -1]

Passando al limite avrai dentro la parentesi 0 + 0 -1

Fuori parentesi + inf

Il prodotto fa -inf

Il problema oggetto del thread è trovare un valore x per cui:
4^x + 6^x = 9^x
∞ soddisfa questa eguaglianza?
Ripeto, non ne sono sicuro, ma sono sicuro che:
4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞
quindi mi chiedevo se e perché con la potenza cambiasse qualcosa…
Auf Wiedersehen

 

[Parnas]

Siamo almeno d'accordo che 4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞ ?

No.
Scritta così non ha senso, infinito non è un valore numerico, è un concetto di analisi che serve a descrivere l'andamento di una funzione.
Ti ho fatto prima l'esempio molto semplice di X e 2X: vanno entrambe a infinito ma non vuol dire che sono uguali (o che la loro differenza tende a zero).

 

[oceanic815]

Il problema oggetto del thread è trovare un valore x per cui:
4^x + 6^x = 9^x
∞ soddisfa questa eguaglianza?
Ripeto, non ne sono sicuro, ma sono sicuro che:
4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞
quindi mi chiedevo se e perché con la potenza cambiasse qualcosa…
Auf Wiedersehen

Il risultato lo abbiamo già trovato. Risolvendo un'equazione esponenziale. Perché quello é.

Il tuo calcolo ,ripeto,senza offesa non ha senso

Quello che vuoi fare tu é un limite cui é strettamente legato in analisi matematica il concetto di infinito (e comunque il segno lo devi mettere e ti accorgerai che le soluzioni sono diverse)

 

[Berlin76]

No.
Scritta così non ha senso, infinito non è un valore numerico, è un concetto di analisi che serve a descrivere l'andamento di una funzione.
Ti ho fatto prima l'esempio molto semplice di X e 2X: vanno entrambe a infinito ma non vuol dire che sono uguali (o che la loro differenza tende a zero).

Non sono d'accordo. Certo, l'infinito non è un numero ma è un'entità matematica sulla quale si può ragionare e fare anche delle operazioni (con opportuni limiti).
2 x ∞ e ∞ sono esattamente la stessa entità, cioè ∞.
Riprendendo l'esempio del paradosso dell'albergo di Hilbert:
hai un albergo di Hilbert a 2 piani con un numero infinito di stanze ciascuno, tutte occupate. Si verifica un incendio e devi evacuare tutti gli ospiti in un bungalow di Hilbert ad 1 piano con stanze infinite. Puoi dire a quelli del piano 1 di andare nella stanza 2n-1 (stanze dispari) e a quelli del piano 2 di andare nella stanza 2n (stanze pari). Come vedi, sei riuscito a far stare 2 infiniti in un unico infinito, e nel farlo hai anche capito che i numeri pari sono uguali a tutti i numeri naturali, così come i numeri dispari sono pari a tutti i numeri naturali. Quindi 2 x ∞ = ∞. Non è vero che è di più.
Auf Wiedersehen

 

[oceanic815]

Quindi 2 x ∞ = ∞. Non è vero che è di più.
Auf Wiedersehen

Ma infatti questo non é in discussione ,tanto é vero che inf x inf da inf e non é forma di indecisione.

Ma da quello che avevi scritto prima

4x∞ + 6x∞=9x∞

E chiedevi se fossimo d'accordo

Bene la risposta é NO.

Proprio per quello che hai scritto adesso

4x(+/-)∞= (+/-)∞ vero *

6x(+/-)∞=(+/-)∞ vero *

9x(+/-)∞=(+/-)∞ vero *

+∞ + ∞ =+∞ vero *

Risultato della tua 4x∞ + 6x∞=9x∞

+∞ - ∞ = 0 *. Sbagliato ,matita rossa e blu

FI ,niente somma algebrica. Si risolve come ti ho detto prima. Ma su un qualsiasi libro di analisi trovi gli esempi.

E poi non puoi semplicemente sostituire ,tra l'altro senza segni . *Devi calcolare il limite . Solo così risolvi.

E usando i segni,+/-,vedrai che il risultato dei limiti sarà diverso.

C'è un errore di fondo nel tuo punto di partenza,mischiare equazioni e analisi (e teoria degli insiemi)

Dovresti riguardarti la teoria degli insiemi,le successioni e come si arriva al concetto di infinito legato ai limiti.
Entità matematica ed altri neologismi non sono ammessi.

 

[Berlin76]

Ma infatti questo non é in discussione ,tanto é vero che inf x inf da inf e non é forma di indecisione.

Ma da quello che avevi scritto prima

4x∞ + 6x∞=9x∞

E chiedevi se fossimo d'accordo

Bene la risposta é NO.

Proprio per quello che hai scritto adesso

4x(+/-)∞= (+/-)∞ vero *

6x(+/-)∞=(+/-)∞ vero *

9x(+/-)∞=(+/-)∞ vero *

+∞ + ∞ =+∞ vero *

Risultato della tua 4x∞ + 6x∞=9x∞

+∞ - ∞ = 0 *. Sbagliato ,matita rossa e blu

Mi sembra che ti stai contraddicendo da solo.
Hai fatto tutto il ragionamento corretto tranne la soluzione finale.
Se convieni che:
4 x ∞ = ∞
6 x ∞ = ∞
9 x ∞ = ∞
∞ + ∞ = ∞
allora ne deriva logicamente che:
4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞
Non ci si scappa.
Il segno non ha senso. Si sta parlando del concetto matematico astratto di infinito. Che vuole dire -∞?
Se proprio non lo digerisci, supponi che la mia risposta all'equazione sia +∞ e cancelliamo proprio il - da ogni punto che così diventa anche più leggibile.

E' inutile che continui a propormi un procedimento meccanico. Devi spiegarmi perché, dal punto di vista logico, questa eguaglianza sarebbe sbagliata:
4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞

Auf Wiedersehen

 

[oceanic815]

Mi sembra che ti stai contraddicendo da solo.
Hai fatto tutto il ragionamento corretto tranne la soluzione finale.
Se convieni che:
4 x ∞ = ∞
6 x ∞ = ∞
9 x ∞ = ∞
∞ + ∞ = ∞
allora ne deriva logicamente che:
4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞
Non ci si scappa.
Il segno non ha senso. Si sta parlando del concetto matematico astratto di infinito. Che vuole dire -∞?
Se proprio non lo digerisci, supponi che la mia risposta all'equazione sia +∞ e cancelliamo proprio il - da ogni punto che così diventa anche più leggibile.

E' inutile che continui a propormi un procedimento meccanico. Devi spiegarmi perché, dal punto di vista logico, questa eguaglianza sarebbe sbagliata:
4 x ∞ + 6 x ∞ = 9 x ∞

Auf Wiedersehen

Per l'ultima volta,quello che hai scritto non ha senso. Era un'equazione esponenziale ,non un' uguaglianza o una identità o chissà cosa . E come tale andava risolta. Ciò che tu proponi ,forse,é un passaggio al limite ,supponendo sia una funzione,nel qual caso saresti arrivato ad una forma di indecisione .

Ho cercato di venirti incontro con una veloce spiegazione sul funzionamento (regole)del calcolo dei limiti. Che non puoi applicare all'algebra classica .

Sbagli proprio in partenza. Inutile é che continui a voler mischiare due cose che non c'entrano nulla una con l'altra .


Per la cronaca quella era una lista non una dimostrazione . Trovi tutto sotto.
E sono cose note e stranote.

 

[Berlin76]

Per l'ultima volta,quello che hai scritto non ha senso. Era un'equazione esponenziale ,non un' uguaglianza o una identità o chissà cosa . E come tale andava risolta. Ciò che tu proponi ,forse,é un passaggio al limite ,supponendo sia una funzione,nel qual caso saresti arrivato ad una forma di indecisione .

Ho cercato di venirti incontro con una veloce spiegazione sul funzionamento (regole)del calcolo dei limiti. Che non puoi applicare all'algebra classica .

Sbagli proprio in partenza. Inutile é continui a voler mischiare due cose che non c'entrano nulla una con l'altra .


Per la cronaca quella era una lista non una dimostrazione . Trovi tutto sotto.
E sono cose note e stranote.




Vedi l'allegato 2644627

Ok, confesso che ho un po' scherzato in questo thread perché so benissimo che non tutti possono conoscere il concetto di infinito in matematica e le regole che segue, e anche perché è evidente che il problema consisteva nel trovare un valore reale che soddisfa l'equazione. Tuttavia proponendo ∞ come soluzione credo che la scuola indiana non possa negarmi l'iscrizione

In ogni caso per dire che una cosa è sbagliata devi prima dimostrarlo. E non mi pare proprio che nel tuo messaggio tu abbia dimostrato che quanto ho scritto è sbagliato.
Il problema è trovare un valore di x che soddisfi l'uguaglianza iniziale.
Io credo che ∞ potrebbe essere una soluzione plausibile, anche se come ho scritto nel mio primo msg non ne sono del tutto sicuro, ma non per le motivazioni che hai scritto tu (che non ho proprio capito sinceramente: continui a propormi regole meccaniche senza dare alcuna motivazione logica), bensì per la tipologia di infiniti coinvolti e per le regole che seguono (se fosse una semplice moltiplicazione allora non ci sarebbero dubbi, checché tu ne dica).

Ti consiglio di approfondire la teoria dei numeri, ed in particolare l'interpretazione di Cantor con la teoria degli insiemi, che ha dato una definizione rigorosa ed unanimemente accettata del concetto di infinito.

Auf Wiedersehen

 

[totore8]

Avete proprio "passato i limiti" e siete usciti fuori tema.
La soluzione esiste ed e' quella trovata dall'utente Parnas e dall'utene Oceanic,
Complimenti a loro e commiserazione a me che non ho considerato che 3^2x e' uguale a 9^x
Il numero e' 1.186714.... e l'ho trovato per ricorsione utilizzando il metodo numerico piu' semplice x[n+1]=F(x[n]) fino alla convergenza.
Ho scritto 20 linee in C per realizzare l'algoritmo.
9^x=4^x+6^x
x=logbase9(4^x + 6^x)
Converge partendo da x=5 con un centinaio di iterazioni.
Parnas ed Oceanic sarebbero passati, io credo di no.
Mi chiedo come ci saremmo comportati appena usciti dalle superiori.
Come ho detto il quesito l'ho postato nella sezione computer, software etc perche' la soluzione che ho trovato puo' essere realizzata solo con un computer.

 

[Berlin76]

Per l'ultima volta,quello che hai scritto non ha senso. Era un'equazione esponenziale ,non un' uguaglianza o una identità o chissà cosa . E come tale andava risolta. Ciò che tu proponi ,forse,é un passaggio al limite ,supponendo sia una funzione,nel qual caso saresti arrivato ad una forma di indecisione .

Ho cercato di venirti incontro con una veloce spiegazione sul funzionamento (regole)del calcolo dei limiti. Che non puoi applicare all'algebra classica .

Sbagli proprio in partenza. Inutile é che continui a voler mischiare due cose che non c'entrano nulla una con l'altra .


Per la cronaca quella era una lista non una dimostrazione . Trovi tutto sotto.
E sono cose note e stranote.




Vedi l'allegato 2644627

Ah, e comunque vedo dalla tabella a / 0 = ∞
a / 0 non esiste in matematica.
Forse sono regolette semplificate per calcolare i limiti, ma a / 0 è un nonsense, e non è certo = ∞.
Auf Wiedersehen

 

[FogOnLine]

Ah, e comunque vedo dalla tabella a / 0 = ∞
a / 0 non esiste in matematica.
Forse sono regolette semplificate per calcolare i limiti, ma a / 0 è un nonsense, e non è certo = ∞.
Auf Wiedersehen

Vabbbbbbbé, dopo questa.....hai passato ogni limite

 

[FogOnLine]

Avete proprio "passato i limiti" e siete usciti fuori tema.
La soluzione esiste ed e' quella trovata dall'utente Parnas e dall'utene Oceanic,
Complimenti a loro e commiserazione a me che non ho considerato che 3^2x e' uguale a 9^x
Il numero e' 1.186714.... e l'ho trovato per ricorsione utilizzando il metodo numerico piu' semplice x[n+1]=F(x[n]) fino alla convergenza.
Ho scritto 20 linee in C per realizzare l'algoritmo.
9^x=4^x+6^x
x=logbase9(4^x + 6^x)
Converge partendo da x=5 con un centinaio di iterazioni.
Parnas ed Oceanic sarebbero passati, io credo di no.
Mi chiedo come ci saremmo comportati appena usciti dalle superiori.
Come ho detto il quesito l'ho postato nella sezione computer, software etc perche' la soluzione che ho trovato puo' essere realizzata solo con un computer.

La soluzione iterativa si può fare ma, nei programmi scolastici delle superiori, questo tipo di equazioni esponenziali si risolve per sostituzione (come fatto da Parnas e oceanic815).

Nei casi più complessi in cui è possibile esprimere l'equazione come uguaglianza di due funzioni di x, si insegna anche una tecnica in cui, a partire dallo studio delle due funzioni, si trovano la/le intersezioni tra le curve graficamente.