Ma la costanza della media di lungo periodo non dovrebbe essere una delle caratteristiche più rilevanti dei processi stazionari? Non è proprio questa la contraddizione?
Occhio a non fare confusione: non è la costanza della media di lungo periodo a qualificare un processo come stazionario, ma la sua indipendenza diretta dal tempo, e di conseguenza la finitezza dei suoi momenti al tendere del tempo a infinito. il che non è la stessa cosa se ci rifletti un attimo. E siccome oggi mi sento prodigo ti faccio anche un esempio (preso a prestito dal grandissimo Gianni Amisano). Il processo:
y(t) = c + beta*t + e(t) con E[e(t)] = 0 e Var[e(t)] = sigma2_e
ha media E[y(t)] = c + beta*t, dunque è stazionario per i momenti secondi, ma non per quanto riguarda il momento primo. Dunque, per essere precisi, il processo è qualificato come non stazionario. Tuttavia un processo del tipo:
y(t) = c + phi*y(t-1) + u(t) con E[u(t)] = 0 e Var[u(t)] = sigma2_u
con u(t) white noise. In questo caso si ha E[y(t)] = c/(1-phi) e Var[y(t)] = sigma2/(1-phi^2)
Si osserva subito che:
1) y(t) non dipende direttamente dal tempo "t" (come nell'altro caso), infatti i suoi momenti (non condizionali) non variano al variare di "t"
2) se phi è in modulo minore di 1, il processo ha momenti finiti e ben definiti (ad esempio, la varianza è, come deve essere, cioè positiva)
Per cui, in questo caso, si conclude che il processo è stazionario. Si tratta infatti del ben noto processo AR(1) (la cui dimostrazione formale di stazionarietà nel caso di |phi| < 1, per inciso, si ottiene passandoper la sua rappresentazione in forma MA).
Comunque non ho mai ragionato di processo latente ma solo di momenti e previsioni condizionali e non sul processo di base. Hai riferimenti su questi processi latenti?
Sì, ma sono belli tosti. Se hai fegato puoi leggerti "MCMC Methods for financial Econometrics" di M. Johannes and N. polson, in particolare pag. 18.
Ciao!
