Die Schrödingers Post-Katze

[VerdeMare]

L'infinito si elimina facendo un integrale, mica perché lo spazio-tempo è discreto.

1 – L’infinito nel reale (parte I) | Das Zauberbuch

 

[GiveMeLeverage]

1 – L’infinito nel reale (parte I) | Das Zauberbuch

Ok, mi sono espresso male:
al di là del fatto che lo spazio tempo sia ritenuto discreto o meno, i nostri modelli fisici si basano su una matematica che fa uso intensivo dei concetti di infinito e infinitesimo:

Se la natura non ammette la divisibilità all’infinito, qual è dunque il ruolo dell’infinito in fisica?

Anzitutto, tutti i calcoli delle grandezze della fisica si basano sull’analisi infinitesimale, potentissimo strumento matematico di descrizione della realtà, nato con Leibniz e Newton. Il calcolo della velocità istantanea di un mobile, del flusso di un vettore rispetto a una superficie, dell’intensità istantanea di corrente, della circuitazione del campo elettrico o magnetico… si basano tutti sull’uso di derivate e integrali, che a loro volta si fondano sul concetto di infinito nella sua rigorosa applicazione matematica

Per risolvere il paradosso di Zenone non ho bisogno di postulare (o scoprire) che lo spazio è discreto, mi basta riconoscere che anche una serie infinita può convergere ad un valore finito.
Il problema è matematico, non fisico.

 

[VerdeMare]

Il problema è matematico, non fisico.

E' entrambe le cose. 2 – Dominare razionalmente l’infinito (parte I) | Das Zauberbuch

Non bisogna sopravvalutare la matematica. Ma sfruttarla il più possibile.
Riconoscendone 'a vista' i limiti.
Hai presente la 'boiata' matematica dei 'buchi bianchi'?

 

[Paolo1956]

Permettetemi una deroga all'argomento fantascientifico (appassionante!).
Ripropongo il mio problemino di qlc giorno fa e tento qui sotto di modificarlo per renderlo più intuitivo ma non meno paradossale.

Nel cassetto ci sono infinite buste.
1/2 delle buste contiene 1$;
1/4 delle buste contiene 10$;
1/8 delle buste contiene 100$;
ecc.

...........

C'è un uso improprio del concetto di infinito. Sarebbe come dire che metà dei numeri naturali sono pari e metà sono dispari, il che è ovviamente falso.

Ma allora non so più bene come definire le probabilità.

L'infinito deve venire da un passaggio al limite, controllando che i concetti introdotti rimangano coerenti.

Ciao

 

[VerdeMare]

Mi hanno ricordato che esiste un'altra interpretazione new age di Matrix.
Quella 'blasfema' del salvatore del mondo che fa miracoli, muore e resuscita.
Anche il nome Neo sarebbe l'anagramma di The One (l'eletto).
A mio avviso, in quest'ottica Matrix risulterebbe un film di serie B al pari di quelli con vampiri e licantropi.
E perderebbe anche il confronto della spettacolarità con Il Signore degli anelli.

 

[FrankB]

Non significa che ci sia una busta con scritto "infinito", ma solo che "comunque scelto N grande a piacere esistono infinite buste con scritto un numero maggiore di N".

Ma "infinito" sta scritto su 0 buste lo stesso, perche' "infinito" non e' un valore generabile dal gioco.

C'e' scritto: E' il "numero grande a piacere". Quello e' "l'infinito fisico".

 

[PGiulia]

Mi hanno ricordato che esiste un'altra interpretazione new age di Matrix.
Quella 'blasfema' del salvatore del mondo che fa miracoli, muore e resuscita.
Anche il nome Neo sarebbe l'anagramma di The One (l'eletto).
A mio avviso, in quest'ottica Matrix risulterebbe un film di serie B al pari di quelli con vampiri e licantropi.
E perderebbe anche il confronto della spettacolarità con Il Signore degli anelli.

Ma non scherziamo proprio!

A me piace anche la metafora sul potere di uscire dagli schemi.

 

[pprllo]

C'e' scritto: E' il "numero grande a piacere". Quello e' "l'infinito fisico".

Sono perfettamente d'accordo che a livello fisico i due concetti siano equivalenti.

Quello che sto dicendo e' che comunque non mi sembra esistano buste con scritto "infinito".

 

[FrankB]

Sono perfettamente d'accordo che a livello fisico i due concetti siano equivalenti.

Quello che sto dicendo e' che comunque non mi sembra esistano buste con scritto "infinito".

Dire "$Inf", vuol dire che fissata una somma grande a piacere ci sono infinite buste che contengono una somma piu alta.
La probabilita di estrarle diventa infinitesima quanto piu uno fissa una cifra alta, ma non importa dato che le cifre aumentano piu velocemente della diminuzione della loro probabilita. E' un caso di limite ∞X0 in cui vince ∞.

 

[VerdeMare]

La serie delle probabilità e la serie di quanto contengono le buste sono (da definizione del problema):
1) (1/2)^i con i=1..n
2) 0,1 * 10^i con i=1..n
Ora se supponiamo che non ci siano buste dal contenuto infinito, ne consegue che n dev'essere finito.
Ma se n è finito allora la sommatoria della prima serie: Sum ((1/2)^i) con i=1..n
non converge a 1, il che implica che non abbiamo considerato la totalità delle buste.

A parte la busta che contiene 1 che ha il 25% = 1/4 di probabilità di essere ricevuta,
ogni altra busta di contenuto

, ciascuna presente in due coppie, può essere ricevuta con probabilità:

1Mln ha una probabilità dell' 1,17% e 1Mld dell' 1,46‰.

Con un numero NON infinito di tentativi, qual è il valore atteso?

 

[FrankB]

Con un numero NON infinito di tentativi, qual è il valore atteso?

Il valore atteso non dipende dal numero di tentativi. Ti stai confondendo con la varianza.

 

[VerdeMare]

Il valore atteso non dipende dal numero di tentativi. Ti stai confondendo con la varianza.

Esatto. Per meglio dire non conosco affatto l'accezione dei termini. E' una questione di semantica.
Chi legge 'valore atteso' e, come me, non ne conosce il significato specifico della Teoria delle probabilità, interpreta l'espressione con:
mi ASPETTO che esca quel valore con buona probabilità.

Invece il valore che dovrei 'attendermi' è quello corrispondente alla varianza, cioè quello corrispondente ad una somma di probabilità del 70/80%.

 

[FrankB]

Esatto. Per meglio dire non conosco affatto l'accezione dei termini. E' una questione di semantica.
Chi legge 'valore atteso' e, come me, non ne conosce il significato specifico della Teoria delle probabilità, interpreta l'espressione con:
mi ASPETTO che esca quel valore con buona probabilità.

Invece il valore che dovrei 'attendermi' è quello corrispondente alla varianza, cioè quello corrispondente ad una somma di probabilità del 70/80%.

Diciamo cosi: il valore atteso e' quello che un gran numero di giocatori (o un gran numero di prove) si attende in media.

La varianza ti da una misura delle deviazioni che ci si puo aspettare dal valore atteso.

Al crescere del numero di prove il valore atteso e' sempre lo stesso (dipende dal processo in questione), la varianza diminuisce fino a diventare infinitesima per un numero infinito di prove. E' il teorema del limite centrale.
Occhio che vale solo se le prove sono indipendenti fra di loro.

Attenzione che quando prendi due giocatori con le buste e uno se ne prende una e l'altro l'altra, i due esiti individuali non sono piu indipendenti fra loro.
Ovviamente uno prende la cifra alta e l'altro la bassa. Gli esiti individuali sono perfettamente anticorrelati.

Nel problema delle buste il valore atteso nell' apertura di una busta e' infinito. Di conseguenza la varianza e' anche infinita: ogni volta che apri trovi un valore finito che si discosta dal valore atteso di una somma infinitamente grande.
Perche il valore atteso e' infinito ? Perche quanto piu giochi e calcoli la media della somma vinta, tanto piu questa media aumenta di valore. Senza limite. Se giochi infinite volte in media vincerai $Inf

 

[VerdeMare]

Al crescere del numero di prove il valore atteso e' sempre lo stesso (dipende dal processo in questione), la varianza diminuisce fino a diventare infinitesima per un numero infinito di prove. E' il teorema del limite centrale.

Esatto. Lo vedi che dipende dal numero dei tentativi?

Se le prove non sono infinite questo non vale.

Per pochi tentativi, al limite uno soltanto, cosa bisogna 'attendersi'?

Perche quanto piu giochi e calcoli la media della somma vinta, tanto piu questa media aumenta di valore. Senza limite. Se giochi infinite volte in media vincerai $Inf

Esatto. E' questo l'inghippo.
Il valore atteso (cioè la somma totale delle vincite) è infinito solo dopo infinite giocate...

 

[FrankB]

Quello che forse stai cercando e' il valore mediano della vincita. Cioe quel valore che ha 50% di vincere di meno e 50% di vincere di piu.
Quello e' $34 (ho fatto il conto a mente, spero sia giusto)

 

[FrankB]

Il valore atteso (cioè la somma totale delle vincite) è infinito solo dopo infinite giocate...

No. Il valore atteso fa riferimento ad una unica giocata. E' sempre lo stesso qualunque sia il numero di volte che giochi. Quello che cambia e' la probabilita di discostarsi dal valore atteso di una data quantita.

Il valore atteso del tiro di un dado e' 3.5. Anche se la faccia "3.5" non esiste proprio sul dado!!!

 

[GiveMeLeverage]

Forse intendi E(X(i+1)) > E(X(i)) ?
Ma anche in questo caso non sono d'accordo.
La serie cosi' specificata ha varianza comunque infinita, quindi non converge al valore atteso e nemmeno tende a convergervi.

E' vero.
Infatti diverge, continua ad oscillare in modo caotico ma sono oscillazioni verso l'alto.
Per questo dico che tendenzialmente x(i+1) > x(i).

Secondo me stai abusando del concetto di limite.

lim n-> inf (5^n) = inf

Non significa che ci sia una busta con scritto "infinito", ma solo che "comunque scelto N grande a piacere esistono infinite buste con scritto un numero maggiore di N".

Ma "infinito" sta scritto su 0 buste lo stesso, perche' "infinito" non e' un valore generabile dal gioco.

Per capirci meglio, secondo me l'implicazione del grassettato e' errata.
Si dovrebbe scrivere "Supponiamo che l'insieme dei contenuti delle buste sia limitato superiormente, allora l'insieme di n e' limitato superiormente a sua volta".

Ma un insieme illimitato superiormente non e' che "contiene" l'infinito, "infinito" non appartiene all'insieme dei numeri reali.

PS: tieni presente che la mia idea di "infinito" e "limite" e' quella banale di analisi, quindi se tu magari hai una conoscenza superiore derivata da cantor e compagnia cantante (che io ignoro completamente) sei invitato ad erudirmi.

Temo di non essere in grado di farlo.
Le mie fonti sono le tue, con la differenza che verosimilmente tu ti sei abbeverato più di recente.
Quindi rovescio l'invito, dimmi piuttosto tu cosa la differenziazione tra infinito e maggiore di N grande a piacere implichi per il nostro probelma.

 

[VerdeMare]

No. Il valore atteso fa riferimento ad una unica giocata. E' sempre lo stesso qualunque sia il numero di volte che giochi. Quello che cambia e' la probabilita di discostarsi dal valore atteso di una data quantita.

Ma sì, è lo stesso per ogni 'problema' che prevede infiniti tentativi.

Io parlo sempre di vincita effettivamente ATTESA (cioè verosimile) in uno o pochi tentativi.

 

[GiveMeLeverage]

E' entrambe le cose.

Il paradosso di Zenone è matematico e filosofico.
Dire che è anche fisico mi pare decisamente una fozatura, per lo meno se consideriamo la fisica una scienza sperimentale (ed io la considero tale).
La soluzione sperimentale del paradosso è infatti banale e immediata:

t = delta s / delta v

dove delta s è il vantaggio iniziale della tartaruga su Achille, delta v è la differenza tra le velocità dei due e t è il tempo che impiega l'acheo a raggiungere la chelonia.

Non bisogna sopravvalutare la matematica. Ma sfruttarla il più possibile.
Riconoscendone 'a vista' i limiti.
Hai presente la 'boiata' matematica dei 'buchi bianchi'?

Non la conoscevo e concordo, benché riconoscerne i limiti "a vista" penso sia difficilissimo anche per chi se ne occupa ai massimi livelli.
Piuttosto direi che bisogna sempre cercare di suffragare sperimentalmente i risultati ottenti mediante l'induzione matematica.

 

[FrankB]

Ma sì, è lo stesso per ogni 'problema' che prevede infiniti tentativi.

Ma perche dici cio ? Il valore atteso non dipende dagli infiniti tentativi. Lui neanche lo sa quanti tentativi tu vuoi fare.
E' un numero che mi aiuta a capire fra due scommesse quale sia piu conveniente scegliere, ceteris paribus.

Io parlo sempre di vincita effettivamente ATTESA (cioè verosimile) in uno o pochi tentativi.

Allora il risultato piu probabile e' estrarre $10 (probabilita 3/8).
Se decidi di cambiare busta il risultato piu probabile e' pescare $1 (probabilita 2/3).
E mo' ? Che ci fai con questi numeri ?

E' meglio il gioco in questione o un altro in cui hai probabilita 8/8 di vincere $10 ? Come lo decidi ?